Глава 11. Параметрические уравнения линии

204

Стержень АВ скользит своими концами А и В по координатным осям. Точка М делит стержень на две части АМ=а и ВМ=b. Вывести параметрические уравнения траектории точки М, приняв в качестве параметра угол t= (см. рис). Исключить затем параметр t и найти уравнение траектории точки М в виде А(x, y)=0.

205

Траекторией точки М является эллипс, уравнение которого (см. задачу 190). Вывести параметрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра t угол угол наклона отрезка ОМ к оси Ох.

206

Траекторией точки М является гипербола, уравнение которой (см. задачу 191). Вывести параметрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра t угол наклона отрезка ОМ к оси Ох.

207

Траекторией точки М является парабола, уравнение которой (см. задачу 192). Вывести параметрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра t:

207.1

ординату точки М;

207.2

угол наклона отрезка ОМ к оси Ох;

207.3

угол наклона отрезка FM к оси Ох, где точка F – фокус параболы.

208

Даны полярные уравнения следующих линий. Составить параметрические уравнения этих линий в декартовых прямоугольных координатах, совмещая положительную полуось абсцисс с полярной осью и выбирая в качестве параметра полярный угол.

208.1

;

208.2

;

208.3

.

209

Даны параметрические уравнения линий. Исключив параметр t, найти уравнения этих линий в виде F(x, y)=0.

209.1

 , ;

209.2

, ;

209.3

 , ;

209.4

, ;

209.5

, ;

209.6

, ;

209.7

, .

210

Определить, какие из точек M₁(3; 1), M₂(2; 3), M₃(6; 3), M₄(-3; -3), M₅(3; -1), M₆(-2; 1) лежат на прямой и какие на ней не лежат.

211

Точки P₁, P₂, P₃, P₄, P₅ расположены на прямой ; их абсциссы соответственно равны числам 4; 0; 2; -2; -6. Определить ординаты этих точек.

212

Точки Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, Q₅ расположены на прямой ; их ординаты соответственно равны числам 1; 0; 2; -1, 3. Определить абсциссы этих точек.

213

Определить точки пересечения прямой с координатными осями и построить эту прямую на чертеже.

214

Найти точку пересечения двух прямых , .

215

Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС даны соответственно уравнениями , , . Определить координаты его вершин.

216

Даны уравнения двух сторон параллелограмма , и уравнение одной из его диагоналей . Определить координаты вершин этого параллелограмма.

217

Стороны треугольника лежат на прямых , , . Вычислить его площадь S.

218

Площадь треугольника S=8, две его вершины суть точки А(1; -2), В(2; 3), а третья вершина С лежит на прямой . Определить координаты вершины С.

219

Площадь треугольника S=1,5, две его вершины суть точки А(2; -3), В(3; -2), центр масс этого треугольника лежит на прямой . Определить координаты третьей вершины С.

220

Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная ее угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый ею на оси Oy:

220.1

k=2/3, b=3;

220.2

k=3, b=0;

220.3

k=0, b=-2;

220.4

k=-3/4, b=3;

220.5

k=-2, b=-5;

220.6

k=-1/3, b=2/3.

221

Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oy, для каждой из прямых:

221.1

;

221.2

;

221.3

;

221.4

;

221.5

.

222

Дана прямая . Определить угловой коэффициент k прямой:

222.1

Параллельной данной прямой;

222.2

Перпендикулярно к данной прямой.

223

Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₀(2; 1):

223.1

Параллельно данной прямой;

223.2

Перпендикулярно данной прямой.

224

Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и одна из его вершин А(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

225

Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение одной из его диагоналей . Найти вершины прямоугольника.

226

Найти проекцию точке Р(-5; 13) относительно прямой .

227

Найти точку Q, симметричную точке Р(-5; 13) относительно прямой .

228

В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей посередине между ними:

228.1

, ;

228.2

, ;

228.3

, ;

228.4

, ;

228.5

, .

229

Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две данные точки:

229.1

M₁(2; -5), M₂(3; 2);

229.2

P(-3, 1), Q(7; 8);

229.3

A(5; -3), B(-1; 6).

230

Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A(5; -4), B(-1; 3), C(-3; -2) параллельно противоположным сторонам.

231

Даны середины сторон треугольника M₁(2; 1), M₂(5; 3), M₃(3; -4). Составить уравнение его сторон.

232

Даны две точки P(2; 3), Q(-1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно к отрезку .

233

Составить уравнение прямой, если точка P(2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.

234

Даны вершины треугольника M₁(2; 1), M₂(-1; -1), M₃(3; 2). Составить уравнения его высот.

235

Стороны треугольника даны уравнениями , , . Определить точку пересечения его высот.

236

Даны вершины треугольника A(1; -1), B(-2; 1), C(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.

237

Даны вершины треугольника A(2; -2), B(3; -5), C(5; 7). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на биссектрису внутреннего угла при вершине А.

238

Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A(3; 2), B(5; -2), C(1; 0).

239

Через точки M₁(-1; 2), M₂(2; 3) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

240

Доказать, что условие, при котором три точки M₁(x₁, y₁), M₂(x₂, y₂), M₃(x₃, y₃) лежат на одной прямой, может быть записано в следующем виде:

241

Доказать, что уравнение прямой, проходящей через две данные точки M₁(x₁, y₁), M₂(x₂, y₂), может быть записано в следующем виде:

242

Даны последовательные вершины выпуклого четырехугольника A(-3; 1), B(3; 9), C(7; 6), D(-2; -6). Определить точку пересечения его диагоналей.

243

Даны две смежные вершины A(-3; -1), B(2; 2) параллелограмма ABCD и точка Q(3; 0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма.

244

Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение его диагонали . Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.

245

Даны вершины треугольника A(1; -2), B(5; 4), C(-2; 0). Составить уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине А.

246

Составить уравнение прямой, проходящей через точку P(3; 5) на одинаковых расстояниях от точек A(-7; 3) и B(11; -15).

247

Найти проекцию точки P(-8; 12) на прямую, проходящую через точки A(2; -3), B(-5; 1).

248

Найти точку M₁, симметричную точке М₂(8; -9) относительно прямой, проходящей через точки А(3; -4), B(-1; -2).

249

На оси абсцисс найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до точек M(1; 2), N(3; 4) была наименьшей.

250

На оси ординат найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до точек M(-3; 2), N(2; 5) была наибольшей.

251

На прямой найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек A(-7; 1), B(-5; 5) была бы наименьшей.

252

На прямой найти такую точку Р, разность расстояний которой до точек A(4; 1), B(0; 4) была бы наибольшей.

253

Определить угол между двумя прямыми:

253.1

, ;

253.2

, ;

253.3

, ;

253.4

, .

254

Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку M₀(2; 1) под углом 45⁰ к данной прямой.

255

Точка А(-4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой . Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

256

Даны две противоположные вершины квадрата A(-1; 3), C(6; 2). Составить уравнения его сторон.

257

Точка E(1; -1) является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.

258

Из точки M₀(-2; 3) под углом к оси Ox направлен луч света. Известно, что . Дойдя до оси Ox, луч от нее отразился. Составить уравнения прямых, на которых лежат падающий и отраженный лучи.

259

Луч света направлен по прямой , луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.

260

Даны уравнения сторон треугольника , , . Доказать, что этот треугольник равнобедренный. Решить задачу при помощи сравнения углов треугольника.

261

Доказатть, что уравнение прямой, проходящей через точку M₁(x₁; y₁) параллельно прямой , может быть записано в виде .

262

Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₁(2: -3) параллельно прямой:

262.1

;

262.2

;

262.3

;

262.4

;

262.5

.

263

Доказать, что условие перпендикулярности прямых ; может быть записано в следующем виде: .

264

Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.

264.1

 , ;

264.2

, ;

264.3

, ;

264.4

, ;

264.5

, ;

264.6

, .

265

Доказать, что формула для определения угла между прямыми , может быть записана в следующей форме:

266

Определить угол , образованный двумя прямыми. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.

266.1

, ;

266.2

 , ;

266.3

 , .

267

Даны две вершины треугольника M₁(-10; 2), M₂(6; 4); его высоты пересекаются в точке N(5; 2). Определить координаты третьей вершины M₃.

268

Даны две вершины A(3; -1), B(5; 7) треугольника ABC и точка N(4; -1) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.

269

В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: , уравнения высот АМ: и BN: . Составить уравнения двух других сторон и третьей высоты этого треугольника.

270

Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны одна из его вершина А(1; 3) и уравнения двух медиан , .

271

Составить уравнения сторон треугольника, сли даны одна из его вершин B(-4; -5) и уравнения двух высот , .

272

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин A(4; -1) и уравнения двух биссектрис , .

273

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин B(2; 6), а также уравнения высоты и биссектрисы , проведенных из одной вершины.

274

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; -1), а также уравнения высоты и биссектрисы , проведенных из различных вершин.

275

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4; -1), а также уравнения высоты и медианы , проведенной из одной вершины.

276

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; -7), а также уравнения высоты и медианы , проведенных из различных вершин.

277

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4; 3), а также уравнения биссектрисы и медианы , проведенных из одной вершины.

278

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину A(3; -1), а также уравнения биссектрисы и медианы , проведенных из различных вершин.

279

Составить уравнение прямой, которая проходит черезначало координат и вместе с прямыми , образует треугольник с площадью, равной 1,5.

280

Среди прямых, проходящих через точку P(3; 0), найти такую, отрезок которой, заключенный между прямыми , , делится в точке Р пополам.

281

Через точку Р(-3; -1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что отрезок каждой из них, заключенный между прямыми , , делится в точке Р пополам.

282

Через точку Р(0; 1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что среди них нет прямой, отрезок которой, заключенный между прямыми , , делился бы в точке Р пополам.

283

Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми , , равна .

284

Составить уравнение прямой, проходящей через точку С(-5; 4), зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми , , равна 5.