Глава 37. Уравнение цилиндрической поверхности

910

Установить, какие геометрические образы определяются в пространственной системе координат следующими уравнениями:

910.1

;

910.2

 ;

910.3

;

910.4

 ;

910.5

;

910.6

;

910.7

;

910.8

;

910.9

;

910.10

.

911

Найти уравнение цилиндра, проектирующего окружность , на плоскость: 1). Oxy; 2). Oxz; 3). Oyz.

912

Найти уравнение проекции окружности , на плоскости: 1). Oxy; 2). Oxz; 3). Oyz.

913

Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₁(2; 1; -1) и имеет нормальный вектор n={1; -2; 3}.

914

Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор n={5; 0; -3}.

915

Точка Р(2; -1; -1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.

916

Даны точки M₁(3; -1; 2), M₂(4; -2; -1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ перпендикулярно вектору .

917

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁(3; 4; -5)

параллельно векторам a₁={3; 1; -1) и a₂={1; -2; 1}.

918

Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(x₀, y₀, z₀) параллельно векторам a₁={l₁, m₁, n₁} и a₂={l₂; m₂; n₂}, может быть представлено в следующем виде:

.

919

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(2; -1; 3), M₂(3; 1; 2) параллельно вектору a={3; -1; 4}.

920

Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(x₁; y₁; z₁), M₂(x₂, y₂, z₂) параллельно вектору a={l; m; n}, может быть представлено в следующем виде:

.

921

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(3; -1; 2), М₂(4; -1; -1), М₃(2; 0; 2).

922

Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(x₁; y₁; z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃; y₃; z₃), может быть представлено в следующем виде:

.

923

Определить координаты какого-нибудь нормального вектора каждой из следующих плоскостей. В каждом случае написать общее выражение координат произвольного нормального вектора:

923.1

;

923.2

;

923.3

;

923.4

;

923.5

;

923.6

.

924

Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:

924.1

 , ;

924.2

, ;

924.3

, .

925

Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:

925.1

, ;

925.2

, ;

925.3

 , .

926

Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости:

926.1

, ;

926.2

, ;

926.3

, .

927

Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:

927.1

, ;

927.2

, ;

927.3

, .

928

Определить двугранные углы, образованные пересечением следующих пар плоскостей:

928.1

, ;

928.2

, ;

928.3

, ;

928.4

, .

929

Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости .

930

Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₁(3; -2; -7) параллельно плоскости .

931

Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям , .

932

Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М₁(2; -1; 1) перпендикулярно к двум плоскостям , .

933

Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(x₀; y₀; z₀) перпендикулярно к плоскостям , , может быть представлено в следующем виде:

.

934

Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки М₁(1; -1; -2), M₂(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости .

935

Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через две точки M₁(x₁; y₁; z₁), M₂(x₂, y₂, z₂) перпендикулярно к плоскости , может быть представлено в следующем виде:

.

936

Установить, что три плоскости , , имеют общую точку, и вычислить ее координаты.

937

Доказать, что три плоскости , , проходят через одну прямую.

938

Доказать, что три плоскости , , пересекаются по трем различным параллельным прямым.

939

Определить, при каких значениях a и b плоскости , , :

939.1

имеют одну общую точку;

939.2

проходят через одну прямую;

939.3

пересекаются по трем различным параллельным прямым.

Глава 39. Неполные уравнения плоскостей.

Уравнения плоскости "в отрезках"