5.10. Порівняння вищих степенів з одним невідомим
Номери
ваших індивідуальних завдань обчислюються
за формулою
(А
+
25k)(mod
110), k
= 0
5, де A
порядковий № за журналом,
порядковий номер навчальної групи.
Вибираються номери записані нежирним
шрифтом.
Зміст задач та завдань
10.5. Знайти порівняння того ж самого степеня із старшим коефіцієнтом 1, еквівалентні таким порівнянням:
5.10.1.
а)
;
5.10.2.
б)
;
5.10.3.
в)
;
5.10.3.
г)
,
.
10.2. Звести задані порівняння до еквівалентних їм порівнянням, степінь яких менше за модуль:
5.10.4.
а)
;
5.10.5.
б)
;
5.10.6.
в)
;
5.10.7.
г)
;
5.10.8. д)
10.3. Спростити задані порівняння (понизити степінь; зменшити коефіцієнти за абсолютною величиною, зробити так, щоб старший коефіцієнт дорівнював 1) і розв’язати способом підбору:
5.10.9.
а)
;
5.10.10.
б)
;
5.10.11.
в)
;
5.10.12.
г)
;
5.10.13.
д)
;
5.10.14.
е)
;
5.10.15.
є)
;
5.10.16.
ж)
;
5.10.17.
з)
;
5.10.18.
к)
;
5.10.19.
л)
.
10.4. Спростити задані порівняння і розв’язати їх способом підбору:
5.10.20.
а)
5.10.21.
б)
;
5.10.22.
в)
;
5.10.23.
г)
;
5.10.24.
д)
;
5.10.25.
е)
;
5.10.26.
є)
;
5.10.27.
ж)
;
5.10.28.
з)
.
10.5. Розкласти порівняння на лінійні множники за заданим модулем:
5.10.29.
а)
;
5.10.30.
б)
;
5.10.31.
в)
;
5.10.32.
г)
;
5.10.33.
д)
;
5.10.34.
е)
;
5.10.35.
є)
;
5.10.36.
ж)
;
5.10.37.
з)
;
5.10.38.
к)
.
10.6. Довести, що
5.10.39.
а) порівняння
при
не має трьох розв’язків;
5.10.40.
б)
,
якщо р
– просте число;
5.10.41.
в)
,
якщо р
– просте число;
5.10.42.
г) числа р
і (р
+2) є простими (тобто простими
числами-близнюками) тоді і тільки тоді,
коли
(теорема
Клемента);
5.10.43.
д)
,
якщо р
– просте число і
,
;
5.10.44.
е)
,
якщо р
– просте число і
,
;
5.10.45.
є)
,
якщо a
– довільне ціле число і р
– просте число,
;
5.10.46.
ж) натуральне число
р >
2 є простим тоді і тільки тоді, коли
(критерій
Лейбніца).
10.7. Розв’язати такі порівняння:
5.10.47.
а)
;
5.10.48.
б)
;
5.10.49.
в)
;
5.10.50.
г)
;
5.10.51.
д)
;
5.10.52.
е)
;
5.10.53.
є)
;
5.10.54.
ж)
;
5.10.55.
з)
;
5.10.56.
к)
;
5.10.57.
л)
;
5.10.58.
м)
.
10.8. Розв’язати такі порівняння:
5.10.59.
а)
;
5.10.60.
б)
.
-
Розв’язати такі порівняння:
5.10.61.
а)
;
5.10.62.
б)
;
5.10.63.
в)
;
5.10.64.
г)
;
5.10.65.
д)
;
5.10.66.
е)
;
5.10.67.
є)
;
5.10.68.
ж)
;
5.10.69.
з)
.
10.10. Розв’язати такі порівняння:
5.10.70.
а)
;
5.10.71.
б)
;
5.10.72.
в)
;
5.10.73.
г)
;
5.10.74.
д)
;
5.10.75.
е)
;
5.10.76.
є)
;
5.10.77.
ж)
;
5.10.78.
з)
;
5.10.79.
к)
.
10.11. Розв’язати такі порівняння:
5.10.80.
а)
;
5.10.81.
б)
;
5.10.82.
в)
;
5.10.83.
г)
;
5.10.84.
д)
;
5.10.85.
е)
;
5.10.86.
є)
;
5.10.87.
ж)
;
5.10.88.
з)
;
5.10.89.
к)
;
5.10.90.
л)
;
5.10.91.
м)
;
5.10.92.
н)
.
5.10.93.
10.12.
Знайти необхідну і достатню умову того,
що порівняння
,
де p
просте число,
,
n
< p,
має тільки n
розв’язків.
10.13. Які з наступних порівнянь мають n розв’язків, де n степінь порівняння:
5.10.94.
а)
;
5.10.95.
б)
;
5.10.96.
в)
.
Знайти ці розв’язки.
-
Скільки розв’язків мають порівняння:
5.10.97.
а)
;
5.10.98.
б)
,
де p
просте число;
5.10.99.
в)
;
5.10.100.
г)
;
5.10.101.
д)
,
де p
непарне просте число;
5.10.102.
е) .
,
де p
непарне просте число ?
5.10.103.
10.15.
Довести. що порівняння
має n
розв’язків, якщо p
просте
число і
.
5.10.104.
10.16.
Порівнянню
задовольняє число
.
Знайти всі розв’язки цього порівняння.
10.17. Перевірити теорему Вільсона при
5.10.105. а) p = 5; 5.10.106. б) p = 7; 5.10.107. в) p = 11; 5.10.108. г) p = 13.
5.10.109.
10.18.
Довести,
що
,
де p
просте число.
5.10.110. 10.19. Розв’язати систему порівнянь:
