Уравнение распространения волн в газовой среде.

Выделяем некий объем газа, площадью и шириной dx, рассматриваем вектор смещения с координатами в проекции этого вектора на ось абсцисс ξ(t,x) и ξ(t,x+dx)

dx*

x x+dx x* x*+dx*

Рис. Смещение частицы сплошной среды из положения равновесия при распространении в среде звуковой волны, бегущей вдоль оси абсцисс

По определению

ξ=x* - x

Таким образом, звуковую волну, распространяющуюся вдоль оси абсцисс можно описать при помощи функции смещения ξ(t,x)

Элемент массы подчиняется второму закону Ньютона

;

Сумма сил действующая на выделенный элемент

;

Через давление сила определяется по формуле

При использовании разложения давления в ряд Тейлора

;

;

Закон сохранения массы имеет вид

Плотность возмущенного газа отличается от плотности невозмущенного на малое приращение

;

Запишем соотношение, связывающее толщину возмущенного слоя с толщиной невозмущенного через смещение, и используем разложение в ряд Тейлора для смещения

dx* =

Трансформируем закон сохранения массы, заменяя в правой части величины через выражения, приведенные выше

;

Учитывая, что производная смещения величина много меньше единицы и малость приращения плотности, последний член будет второго порядка малости и им можно пренебречь.

Тогда для приращения плотности будет справедливо соотношение

Движение выделенного слоя газа вдоль оси абсцисс, где x =const

Уравнение второго закона Ньютона справедливо для элемента массы

d;

кроме того, идеальный газ подчиняется уравнению состояния

- закон адиабаты.

Или через плотность

; ;

Тогда вариация давления связана с изменением давления соотношением ;

Или

;

Обозначая через скорость распространения возмущения

;

Или

Вариацию давления представим в виде

Для суммы сил имеем

;

Подставляя все величины в уравнение движения, получим

Или окончательно после соответствующих сокращений

Это волновое уравнение для описания распространения возмущений в газовой фазе. Характерным является скорость распространения возмущений.

Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье).

Метод разделения переменных (или метод Фурье) является типичным для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение уравнения

удовлетворяющее краевым условиям:

u (0, t) = 0, (108)

u (ℓ, t) = 0, (109)

u (x, 0) = ƒ(x), (110)

Будем искать (не равное тождественно нулю) частное решения уравнения (107), удовлетворяющее граничным условиям (108) и (109), в виде произведения двух функций X(x) и T(t), из которых первая зависит только от х, вторая только от t:

u (x, t) = X (x) T (t). (112)

Подставляя в уравнение (107), получаем:

X (x) T′′(t) = a² X′′(x) T(t).

Разделив члены равенства на a² XT

В левой части этого равенства стоит функция, которая не зависит от х, слева – функция, не зависящая от t. Равенство (113) возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от х, ни от t, т. е. равны постоянному числу. Обозначим его через – λ, где λ > 0 ( позднее будет рассмотрен случай λ < 0). Итак,

Из этих равенств получаем два уравнения:

X′′ + λX = 0, (114)

T′′ + a² λT = 0. (115)

Общие решения этих уравнений будут:

где A, B, C, D – произвольные постоянные.

Подставляя выражения X(x) и T(t) в равенство (112), получим:

Подберем теперь постоянные А и В так, чтобы удовлетворялись условия (108) и (109). Так как T (t) тождественно неравна нулю (в противном случае u (x, t) ≡ 0, что противоречит поставленному условию),то функция X (x) должна удовлетворять условиям (108) и (109), т. е. должно быть

Х (0) =0, Х (ℓ) = 0.

Подставляя значения х=0 и х = ℓ в равенство (116), на основании (108) и (109) получаем:

0 = А · 1 + В · 0,

Из первого уравнения находим А = 0. Из второго следует:

В ≠ 0, так как в противном случае было бы Х ≡ 0 и u ≡ 0, что противоречит условию. Следовательно, должно быть

откуда

(мы не берем значение n = 0, так как в этом случае было бы Х ≡ 0 и u ≡ 0). Итак, мы получили:

Найденные значения λ называются собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции Х (х) называются собственными функциями.

Замечание. Если бы мы подставили вместо – λ выражение + λ = k², то уравнение (114) приняло бы вид

Х′′- k²Х = 0.

Общее решение этого уравнения:

Х = Аe^kx + Be ^-kx .

Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (108) и (109).

Зная λ^1/2, мы пользуясь равенством (117) , можем написать:

(120)

Для каждого значения n, следовательно, для каждого λ, выражения (119) и (120) подставляем в равенство (112)и получаем решение уравнения (107), удовлетворяющее граничным условиям (108) и (109). Это решение обозначим u_n (x, t):

Для каждого значения n мы можем брать свои постоянные C и D и потому пишем C_n и D_n (постоянная В включена в C_n и D_n). Так как уравнение (107) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция, представленная рядом

или

также будет решением дифференциального уравнения (107), которое будет удовлетворять граничным условиям (108) и (109). Очевидно, ряд (122) будет решением уравнения (107) только в том случае, если коэффициенты C_n и D_n таковы, что этот ряд сходится в ряды получающиеся после двукратного почленного дифференцирования по х и по t.

Решение (122) должно еще удовлетворять начальным условиям (110) и (111). Этого мы будем добиваться путем подбора постоянных C_n и D_n. Подставляя в равенство (122) t = 0, получим :

Если функция ƒ(x) такова, что в интервале (0, ℓ) ее можно разложить в ряд Фурье, то условие (123) будет выполняться, если положить

Далее, дифференцируем члены равенства (122) по t и подставляем t = 0. Из условия (111) получается равенство

Определяем коэффициенты Фурье этого ряда:

или

Итак, мы доказали, что ряд (122), где коэффициенты C_n и D_n определены по формулам (124) и (125), если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u (x, t), которая является решением уравнения (107) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (108) – (111).

Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (122) представляет собой решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом функция ƒ(x) должна быть дважды дифференцируемой, а функция φ(x) – один раз дифференцируемой.

Решение волнового уравнения

Метод разделения переменных, метод Фурье.

Решаем методом Фурье задачу о смещениях точек закрепленной с обеих концов струны, совершающей колебания с заданными начальными условиями. Найдем функцию, удовлетворяющую волновому уравнению

; - уравнения колебательных процессов.

начальные и граничные условия

u(t, x=0) =0

u(t, x=l) =0

Ищем решение в виде произведения двух функций

Взяв вторые частные производные от функции по аргументам и подставив их в уравнение, получим равенство

;

Разделив его на произведение, получим

;

Это равенство возможно в том случае, если обе части его порознь равны одной и той же постоянной. Таким образом, приходим к двум уравнениям второго порядка

Общие решения их известны

;

;

И помним, что решение есть произведение этих функций

Использование граничного условия дает равенство одного из коэффициентов нулю

;

Для первой функции выражение упрощается

;

Использование второго граничного условия дает

;

Откуда

;

Что выполняется в случае

;

Собственные числа получаются в виде

;

Для функций теперь имеем множество

;

Для второго множества функций после подстановки собственных чисел запишем

Каждая из этих функций удовлетворяет уравнению и краевым (граничным и начальным) условиям. Составим бесконечный ряд функций, сумма которого запишется так

Общее решение

Или перемножая коэффициенты

В начальный момент времени выполняется равенство:

;

Чтобы получить выражение для коэффициентов, которые равны коэффициентам Фурье,

Домножаем равенство на функции разложения Фурье

Интегрируем используя ортогональность функций разложения и получаем коэффициенты

G_n =φ_n =(2/l)

Аналогично для второго коэффицициента

E_n =(l/nv)ψ_n =(2/ nv)ψ(x)

Тогда общее решение запишется

В предположении, что имеет место сходимость и дифференцируемость ряда, эта функция является искомым решением

Решение описывает так называемую стоячую волну или собственное колебание: все точки струны совершают гармонические колебания с собственной циклической частотой, амплитудой и одинаковой начальной фазой. Они одновременно(синфазно) достигают максимальных отклонений или положения равновесия. Наименьшая собственная частота называется частотой основного тона; тоны кратных частот называются гармониками или обертонами. Частота колебаний тем выше, чем короче и легче струна и чем больше ее натяжение. На рис. Изображены картины колебаний основного тона и первого обертона.

Решение является суммой или суперпозицией стоячих волн с кратными частотами. Ноты –периодические колебания, шумы – непериодические колебания. Совокупность амплитуд характеризует спектр(тембр) ноты определенной частоты.

Колебания струны представляются как сумма колебаний.

Колебания с определенной частотой называются модами(гармоническими).

Сложение волн.

Явление интерференции.

это стоячая волна;

Волновое уравнение

(11.1)

Функция - решение этого уравнения.

ξ=x-vt

;

;

;

- тоже является решением.

- скорость фронта волны. , где - волновое число.

;

За время от t =0 до произвольного момента времени t график функции смещается на расстояние х = vt. При этом скорость смещения равна v. Говорят, что функция (11.2) опи­сывает волну, бегущую вдоль оси х. Функция (11.3) также описывает бегущую волну. Только эта волна "бежит" в другую сторону, так как график функции (11.3) при увеличении t смещается влево. Величину v называют скоростью распространения волны.

Общее решение уравнения (11.1) имеет вид

u(t, х) =f(x -vt) + h(x + v t),

f(x) vt f(x-vt)

_____________________________________________________x

Рис. 11.1. Бегущая волна

т.е. в общем случае вдоль оси х могут распространяться сразу две волны, одна из которых "бежит" вправо, а другая - влево.