2.6. Цепочка осцилляторов и уравнение Клейна-Гордона-Фока(укгф)

Рассмотрим цепочку из тождественных и связанных между собой осцилляторов, например в виде маятников массы m, имеющих собственную частоту ω₀ = . Связь маятников осуществляется пружинами с жесткостью

γ_t. Уравнение для смещения φ_n(t) n – го маятника в случае малых колебаний и в предположении, что взаимодействие с ближайшими соседями, может быть записано в виде

φ˝_n + ω₀²φ_n = (γ₁/m)(φ_n+1 + φ_n-1 - 2φ_n). (2.15 )

Решение дифференциально – разностного уравнения с разностью второго порядка можно искать в виде одночастотных колебаний, т.е. в виде

φ_n = Aexp[iωt – inka], φ_n-1 = Aexp[iωt – i(n – 1)ka],

φ_n+1 = Aexp[iωt – i(n + 1)ka]. (2.16)

Подставляя (2.16) в (2.15), получим для действительных k закон дисперсии:

ω² = ω₀² + (2γ₁/m)(1 – cos ka) = ω₀² + (4γ₁/m)sin²(ka/2), (2.17)

и для k = -iχ (χ – действительная величина):

ω² = ω₀² + (2γ₁/m)(1 – ch χa) = ω₀² – (4γ₁/m)sh²(χa/2). (2.18)

Задавая в уравнении(2.17) частоту ω (оказывая на цепочку внешнее воздействие), можно найти k. Если k получится действительным, то это значит, что вдоль цепочки будет распространяться волна частоты ω, если k – мнимое, то волна экспоненциально затухает.

Действительно, поскольку φ_n = Aexp(iωt – inka), при k = -iχ

φ_n = Aexp(iωt – nχa) и с ростом номера n ячейки φ_n → 0. Дисперсионное уравнение (2.17) определяет частоты от ω = ω₀ до ω^* = √ω₀+4γ₁/m, что соответствует значениям ka от ka = 0 до ka = π . Область частот ω₀ < ω < ω^* с соответственными волновыми числами – область прозрачности, в которой волны в цепочке распространяются без затухания. Из (2.17) следует, что условие ω < ω₀ возможно лишь, когда sin²(ka/2) < 0 , т.е. при мнимых k. Неравенство ω > ω^* может выполняться также лишь при мнимых k. Этой области соответствует уравнение ω² = ω₀² + (4γ₁/m)ch²(γa/2), а интервалу ω < ω₀ – уравнение (2.18). Указанным значениям ω и k соответствует область непрозрачности, в которой амплитуда колебаний, возбуждаемой на границе цепочки, экспоненциально спадает с увеличением n.

Если учесть, что пространственный период волнового движения в дискретной цепочке много больше расстояния между маятниками, т.е. много больше размера ячеек, тогда дискретные величины можно заменить на непрерывные и, следовательно, справедливы соотношения:

φ_n(t) → φ(x,t),

φ_n+1(t) → φ{(x + a),t} = φ(x,t) + (∂φ(x,t)/∂x)a + 1/2(∂²φ(x,t)/∂x²)a² + … ,

φ_n-1(t) → φ{(x – a),t} = φ(x,t) – (∂φ(x,t)/∂x)a + 1/2(∂²φ(x,t)/∂x²)a² + …

переходя от дискретной координаты к непрерывной и используя введенные выше замены в уравнении(2.15), получим уравнение в частных производных

∂²φ(x,t)/∂t² – ν²∂²φ(x,t)/∂x² + ω₀²φ(x,t) = 0, (2.19)

где ν² = γ₁a²/m. Это линеаризованное уравнение Клейна-Гордона-Фока, впервые появившееся в теории поля. Смысл допущений, сделанных при выводе (2.19) сводится к тому, что, во-первых, функция φ_n(t) была определена в дискретных точках оси x, и была заменена на непрерывную. Во-вторых, функция φ(x,t) разложена в ряд при сохранении лишь младших членов и отбрасывании старших (в этом неточность уравнения (2.19). кроме того, в этих операциях не определено точно по сравнению с чем a мало. Справедливость сделанных допущений необходимо показать. Получим дисперсионное уравнение для (2.19). Подставляя φ(x,t) ~ exp(iωt – ikx) уравнение (2.19), будем иметь

ω² = ω₀² + ν²k²

или, раскрывая значение ν²

ω² = ω₀² + (γ₁/m)(ka)² (2.20)

Легко видеть, что (2.20) получается из (2.17), если sin²(ka/2) ≈ (ka)²/4, т.е. при ka << 1. Итак, когда мы говорим о малости a по сравнению с характерным пространственным периодом волнового движения, мы говорим о малости ka и, следовательно, о малости a по сравнению с длинной волны, поскольку k = 2π/λ (ka << 1 или a << λ). Для достаточно длинных волн допущения справедливы, и цепочку маятников можно рассматривать как среду, описываемую уравнением Клейна – Гордона-Фока. Однако все приближения нарушаются, когда λ ~ a, т.е. длина волны в структуре соизмерима с ее периодом. Таким образом, преобразования дисперсионных уравнений для цепочек из одинаковых частиц при условии ka << 1 означают переход от упорядоченных структур к одномерной сплошной среде.

Если в уравнении (2.19) устремить ω₀ к нулю, то получим обычное волновое уравнение

∂²φ(x,t)/∂t² – ν²∂²φ(x,t)/∂x² = 0,

Дисперсионное уравнение которого

ω = ± νk (2.21)

или для анализируемой модели

(2.22)

Здесь v = a√γ₁/m –фазовая скорость волны. Последнее уравнение совпадает с законом дисперсии для цепочки из одинаковых равноудаленных частиц при ka << 1. Физически это ясно, так как при ω₀ = √g/l → 0 для маятника необходимо, чтобы l → ∞ ; это значит, что длина маятника становится так велика, что уже не влияет на его колебание, а это и есть цепочка шариков, соединенных пружинками (но ka <<1!).

Если в дисперсионном уравнении зависимость между ω и k линейная, т.е. справедливо (2.21), то говорят, что среда без дисперсии. В этом случае фазовая скорость, определяемая как ω/k, будет постоянной и не зависящей от частоты. В частности, при ka ‹‹ 1 цепочка атомов-шариков в одномерной решетке ведет себя как упругая струна, описываемая волновым уравнением. В этом случае речь идет о распространении упругих волн в сплошной среде со скоростью ν, равной скорости звука(отсюда название акустическая ветвь для нижней кривой). Из уравнения (2.20) при ω, немного больших ω₀ следует, что дисперсионная кривая имеет вид параболы:

ω ≈ ω₀ + Ak² , если A = γ₁a²/2mω₀ << 1,

т.е. вблизи ω₀ дисперсия проявляется. В то же время интересно, что при достаточно больших ω дисперсии не будет(линейная зависимость ω(k)). Попытаемся систематизировать полученные результаты, чтобы понять, с чем связано существование дисперсии в среде. Обратимся к уравнению Клейна-Гордона-Фока, которое описывает распространение одномерных волн в среде с дисперсией, в частности в цепочке маятников с собственными частотами ω₀ , расположенных на расстояниях a << λ (дисперсионная кривая-сплошная кривая на рис). Уже было отмечено, что при ω₀ → 0 дисперсия исчезает: длина нитей маятников ток велика, что у них нет собственного периода колебаний, цепочка превращается в данном случае в упругую струну. Дисперсия исчезла, когда исчез собственный временной масштаб, характеризующий среду. Когда каждый маятник имеет собственный период T = 2π/ω₀ , «среда» из маятников не будет воспринимать частоту меньше собственной. На этой критической частоте все маятники будут колебаться синфазно - волн нет, существуют только колебания. Если теперь обратиться к уравнениям (2.15) и (2.17), в которых соотношение между a и λ может быть любым, то нетрудно видеть, что дисперсия в системе сохраняется, даже при ω₀ → 0. действительно, в этом случае получается цепочка из шариков, связанных пружинками. В этой среде дисперсия существенна, пока a мало по сравнению с λ. Таким образом, в «решетке» из шариков дисперсия определяется собственным пространственным масштабом – периодом «решетки». С этим же связана дисперсия в «решетке» из равноудаленных частиц равной массы. Что касается цепочки из связанных маятников, когда ω₀ ≠ 0 и a сравнимо с λ, то дисперсия определяется и временным и пространственным масштабами. Аналогично характеризуется дисперсия и для цепочки из магнитных стрелок, где наряду с периодом a , фигурирует частота ω_H, связанная с существованием внешнего магнитного поля. Таким образом, можно сказать, что существование дисперсии в среде связано с наличием в ней собственных, независимых от параметров волны пространственных или временных масштабов.

Если в среде нет никаких характерных пространственных или временных масштабов (как, например, при распространении звука в воде или электромагнитных волн в вакууме), т.е. нет характерных частот или периодов, то распространяющаяся несинусоидальная волна искажаться не будет. Дисперсия в этом случае отсутствует.

Если, например, вода содержит пузырьки, то имеет место некий пространственный масштаб a - расстояние между пузырьками и размер пузырьков, то для волны с λ >> a искажения при распространении не будет, если же λ ~ a, то волна искажается, в системе есть дисперсия. В кристалле, скажем, волна низкой частоты (длина волны много больше расстояния между ионами) распространяется без искажений, а для высоких частот уже имеет значение расстояние между ионами – дискретность «среды».

Дисперсия, связанная с наличием в среде временных масштабов, обычно называется временной, а с наличием пространственных масштабов – пространственной. Следует отметить, что такая классификация удобна лишь в электродинамике. Где можно говорить отдельно об уравнениях среды и поля. На формальном языке уравнений дисперсия – это нелокальная зависимость между различными физическими переменными во времени или пространстве. Так, в электродинамике сплошных сред пространственная дисперсия связана с тем, что электрическая индукция D в данной точке пространства определяется значением напряженности E электрического поля не только в этой точке, но и в некоторой ее окрестности, т.е. D и E связаны нелокально в пространстве:

D_i(ω,k) = ε_ij(ω,k)E_j(ω,k)

где ε_ij(ω,k) – тензор комплексной диэлектрической проницаемости.

Формально можно ввести следующие определения: в электродинамике сплошных сред среда имеет пространственную дисперсию, если ее диэлектрическая проницаемость зависит от волнового вектора; если же проницаемость зависит от частоты, то имеем дело с частотной или временной дисперсией.

Последняя связана также с нелокальностью связи D и E во времени, причем временная дисперсия обычно велика, поскольку собственные частоты среды попадают в рассматриваемый интервал частот. Пространственную дисперсию следует принимать во внимание, например, в физике изотропной плазмы, когда длина волны соизмерима с радиусом Дебая, в теории проводящих сред при учете соударений, когда длина свободного пробега порядка длины волны. В кристаллооптике пространственная дисперсия приволит к качественно новым эффектам таким, как естественная оптическая активность (гиротропия), оптическая анизотропия кубических кристаллов. В плазме, например, групповая скорость продольных волн становится отличной от нуля также из-за пространственной дисперсии.

Лекция №12

Волны.

Колебания упругой струны.

Волны -это периодические изменения состояния среды.

Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи.

В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к её профилю. Пусть струна длины l в начальный момент напрвлена по отрезку оси Ох от 0 до l. Предположим, что концы струны закреплены в точках х = 0 и х = l. Если струну отклонить от её первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, предать в начальный момент её точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать её точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения – говорят, что струны начнет колебаться. Задача заключается в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ох и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией u (x, t), которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой х в момент времени t.

Так как рассматриваем малые отклонения струны в плоскости (x, u ), то будем предполагать, что длина элемента струны М₁М₂ равняется её проекции на ось Ох, т. е. М₁М₂ = х₂ – х₁. Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через Т.

Рассмотрим элемент струны ММ^′. На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т.

Пусть касательные образуют с осью Ох углы φ и φ + ∆φ. Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент ММ^′, будет равна

T· sin (φ + ∆φ) – sin φ .

Так как угол φ мал, то можно положить tg φ ≈ sin φ, мы будем иметь:

T sin (φ + ∆φ) – T sin φ ≈ T tg (φ + ∆φ) – T tg φ =

(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных скобках).

Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть ρ – линейная плотность струны. Тогда масса элемента струны будет ρ ∆х. Ускорение элемента равно ∂²u / ∂t². Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:

Сокращая на ∆х и обозначая a² = T/ ρ, получаем уравнение движения

Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний струны.

Если струну натянуть и отпустить, то она будет совершать поперечные колебания.

Для поперечных колебаний отклонение ξ(t,x) не будет совершенно вертикальным, однако при малых отклонениях смещение элемента струны можно считать почти вертикальным и описывать величиной ординаты y=y(t,x)

ξ(t,x)

элемент длины струны

Уравнение движения элемента массы струны – второй закон Ньютона

dm a_y =∑F_y

Расписывая сумму сил, действующих с обоих концов выделенного элемента струны

элемент массы выражается через линейную плотность и элемент длины

dm=ρdx

d;

Через величину со штрихом обозначена производная по х

;

;

Проекция силы на ось оординат

;

Учитывая малость угла отклонения струны от горизонтали, используем аппроксимацию синуса через угол и далее через тангенс угла. Кроме того, учтем, что тангенс угла эквивалентен производной

;

Тогда проекцию силы на ось ординат запишем через производную

Используем разложение силы в ряд Тейлора

d=;

∑F_y =Fy′(t, x+dx) - Fy′(t,x) =Fy′′dx

Учитывая обозначения

;

;

Запишем уравнения движения струны

;

Собирая постоянные в правой части

Обозначим совокупность постоянных как квадрат скорости

- уравнение движения элемента струны, учитывая, что отклонения малы (в поперечном сечении).

Волновое уравнение-уравнение в частных производных гиперболического типа

- волновое уравнение.

v=√F/ρ - скорость распространения волны

Для полного определения движения струны одного уравнения (35) недостаточно. Искомая функция u(x, t) должна удовлетворять ещё граничным условиям, указывающих, что делается на концах струны (х = 0 и х = ℓ), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t = 0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при х = 0 и х = ℓ неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства:

u (0, t) = 0, (36)

u (ℓ, t) = 0. (36^,)

Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.

В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией ƒ(x). Таким образом, должно быть

u (x, 0) = u |_{t = 0} = ƒ(x). (37)

Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией φ(х):

Условия (101^,) и (101^{, ,}) являются начальными условиями.

Замечание. В частности, может быть, ƒ(x) ≡ 0 или φ(x) ≡ 0. Если же ƒ(x) ≡ 0 и φ(x) ≡ 0, то струна будет находиться в покое, следовательно, u (x, t) ≡ 0.

Вывод уравнений электрических колебаний в проводах.

Как указывалось выше, к уравнению (30) приводит и задача об электрических колебаниях в проводах. Покажем это. Электрический ток в проводе характеризуется величиной ί(x, t) и напряжением υ(x, t), которые зависят от координаты х точки провода и от времени t. Рассматривая элемент провода ∆х, можем написать, что падение напряжения на элементе ∆х равно

Это падение напряжения складывается из омического, равного ίR∆x, и индуктивного , равного (∂ ί /∂ t )L∆x. Итак,

где R и L - сопротивление и коэффициент самоиндукции, рассчитанный на единицу длины провода. Знак минус взят потому, что ток течет в направлении, обратном возрастанию υ. Сокращая на ∆х, получаем уравнение

Далее, разность токов, выходящих из элемента ∆х и выходящего из него время ∆t, будет

Она расходуется на зарядку элемента, равную C∆x (∂υ /∂t) ∆t, и на утечку через боковую поверхность провода вследствие несовершенства изоляции, равную Аυ∆х∆t (здесь А – коэффициент утечки). Приравнивая эти выражения и сокращая на ∆x∆t, получим уравнение:

Уравнения (103) и (104) принято называть телеграфными уравнениями.

Из системы уравнений (103) и (104) можно получить уравнение, содержащую только искомую функцию ί(x, t), и уравнение, содержащее только искомую функцию υ (x, t). Продифференцируем члены уравнения (104) по х; члены уравнения (103) продифференцируем по t и умножим их на С. Произведя вычитание, получим:

Подставляя в последнее уравнение выражение (∂υ /∂х) из уравнения (103), получим:

Аналогичным образом получается уравнение для определения υ(x, t):

Если можно пренебречь утечкой через изоляцию (А = 0) и сопротивлением (R = 0), то уравнения (105) и (106) переходят в волновые уравнения:

где обозначено: a² = 1/CL. Исходя из физических условий, формулируются граничные и начальные условия задачи.