§ 7. Стоячие волны

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волна­ми в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.

Очень важный случай интерференции наблюдается при нало­жении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, образуют стоячую волну.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:

₁ = a cos ( t − kx + ₁ ), ₂ = a cos ( t + kx + ₂ ).

Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим

(7.1)

Уравнение (7.1) есть уравнение стоячей волны. Чтобы упростить его, выберем начало отсчета х так, чтобы разность α₁ – α₂ стала равной нулю, а начало отсчета t — так, чтобы оказалась равной нулю сумма α₁ – α₂. Кроме того, заменим волновое число k его значением 2π/λ. Тогда уравнение (7.1) примет вид

(7.2)

Из (7.2) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем ампли­туда зависит от х:

(7.3).

А = 2acos(2x/)

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

2πx/λ =  nπ (n  N)

(7.5)– (3.3), амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Из (3.3) получаются значения координат пучностей:

(7.4)

Следует иметь в виду, что пучность представляет собой не одну единственную точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты x, определяемые формулой (7.4).

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют значения

(7.5).

Узел, как и пучность, представляет собой не одну точку, а плос­кость, точки которой имеют значения координаты х, определяе­мые формулой (7.5).

Из формул (7.4) и (7.5) следует, что расстояние между сосед­ними пучностями, так же как и расстояние между соседними узла­ми, равно /2. Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.

Обратимся снова к уравнению (7.2). Множитель при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на . Это означает, что точки, лежащие по разные стороны от узла, ко­леблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя со­седними узлами, колеблются синфазно. На рис. 7.1 дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия. Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода. Стрелками показаны скорости частиц.

Продифференцировав уравнение (7.2) один раз по t, а другой раз по х, найдем выражения для скорости частиц и для дефор­мации среды :

(7.6)

(7.7)

Уравнение (7.6) описывает стоячую волну скорости, а (7.7) – стоячую волну деформации.

На рис. 7.2 сопоставлены «моментальные фотографии» смеще­ния, скорости и деформации для моментов времени 0 и T/4. Из графиков видно, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пуч­ностями смещения; узлы же и пучно­сти деформации совпадают соответ­ственно с пучностями и узлами сме­щения. В то время как  и ε достигают максимальных значений, обраща­ется в нуль, и наоборот. Соответст­венно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциаль­ную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где нахо­дятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, со­средоточенную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности скорости). В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и

обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.

Рис.7.1

Рис.7.2

Лекция 13

Термодинамика. Молекулярная физика.

МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ СИСТЕМА- (макросистема) –система, состоящая из множества частиц(атомы молекулу, электроны, фотоны и т.д.)

Методы исследования многочастичных систем-термродинамический и статистический)

Феноменологический подход-раздел молекулярной физики-термодинамика

Статистический-статистическая физика(использование средних величин, характеризующих движение огромной совокупности молекул, а отдельные молекулы)

Путь познания природы

1.выбор модели данной макросистемвы(гипотеза)( простейшая модель и оценочный расчет)

2.оценочный расчет

3. сравнение результатов с экспериментом

4. при неудовлетворительных результатах- уточнение модели и с п.2

Модель –идеальный газ

А)молекулы не взаимодействуют с друг другом

Б) в равновесном состоянии движение молекул полностью хаотическое

Систему можно характеризовать макропараметрами или макросостояниями микросостояний.

p,V – макропараметры.

Есть 2 метода исследования системы:

1) статистический;

2) термодинамический.

алгоритм исследования Любой системы:

1) выбор модели;

2) приближенный расчет (оценка);

3) сравнение полученных результатов с экспериментальными данными;

4) в зависимости от результата - уточнение модели и повторение расчета.

Модель идеального газа.

Идеальный газ подразумевает:

1) наличие молекул, которые не взаимодействую между собой;

2) в равновесном состоянии молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении.

Из n молекул в единице объема в каждом направлении x,y,z движется n/3 молекул, а в одну сторону n/6

Давление газа на стенку

Молекулы разных сортов имеют одинаковые кинетические энергии.

Рассмотрим два сорта. Для пар молекул относительные скорости

- относительная скорость.

и скорости центров масс

Из-за беспорядочности столкновений и быстрой «потерей памяти» относительные скорости не скоррелированы. Следовательно, средние от скалярного произведения взятые по всем парам равно нулю

- скорость центра масс;

Расписываем скалярное произведение

Поскольку

Т.е. происходит выравнивание кинетической энергии.

Одна из гипотез: суммарная энергия системы равна сумме всех энергий системы.

Температура-степень нагретости тела, характеризующая кинетическую энергию молекул.

(1)

k - постоянная Больцмана.

k = Дж/К

- связь с газовой постоянной и числом Авогадро

Рассмотрим давление газа на стенку.

пусть ∆n_i –группа молекул, имеющих скорость v_i

в каждой единице объема

баланс молекул имеет вид

∑∆n_i = n

∆ν_i – число молекул i – го вида, достигающих стенки за время ∆t площадки∆S

При ударе о стенку молекула меняет направление скорости на противоположное. Изменение количества движения при этом

Согласно 2 закону Ньютона изменение количества движения равно импульсу силы

Давление на стенку по определению можно представить в виде силы, действующей на единицу площади

, где - количество ударов.

За время о стенку ударяется все молекулы объема.

Число ударов можно оценить, исходя из простых соображений. Три направления по координатам равноправны и, кроме того, следует учитывать только молекулы, движущиеся только к стенке. Число молекул находится как произведение плотности молекул на величину элементарного объема

-число ударов

Величина элементарного объема определяется как объем цилиндра высотой, равной пути, пройденному молекулой, движущейся с определенной скоростью за промежуток времени и с площадью поперечного сечения

Подставляя величины, запишем для давления

Приводя после сокращений к виду

учитывая

Делим и умножаем формулу для давление на число молекул

;

- доля молекул с определенной скоростью – аналог вероятности.

Давление выражается через среднюю энергию молекул

, (2)

где - среднее значение кинетической энергии.

Подставляем (1) (2) :

число молекул в единице объема делим на число молекул в одном моле(число Авогадро)

получаем число молей в единице объема

приводим к виду-

уравнение Менделеева - Клайперона.

Или

- уравнение Менделеева - Клайперона.

М – молярная масса(масса моля)

ν –число молей –масса газа, отнесенная к молярной массе

термодинамика

При медленном изменении внешних условий в системе успевают сформироваться условия термодинамического равновесия(т.е. выравнивание параметров происходит много быстрей изменения внешних условий) –это равновесный процесс. Равновесный процесс – последовательность равновесных состояний термодинамической системы.

Система состоит из множества частиц –макроскопические величины –характеризуют состояние сразу многих частиц.

Аксиомы.

1.существуют состояния термодинамического равновесия.

2.аддитивность энергии. Внутренняя энергия, состоит из внутренней энергии частиц и потенциальных энергий взаимодействия друг с другом.

3.существование температуры(нулевой закон термодинамики)

Термодинамика базируется на законах-началах

1.закон сохранения энергии – энергия в процессах сохраняется – тепло, подведенное к системе расходуется на совершение работы и изменение внутренней энергии системы.

2.а) ТЕПЛО ПЕРЕДАЕТСЯ ОТ БОЛЕЕ НАГРЕТОГО ТЕЛА К МЕНЕЕ НАГРЕТОМУ.

б)РАБОТА МОЖЕТ БЫТЬ СОВЕРШЕНА ЛИШЬ ПРИ НАЛИЧИИ ГОРЯЧЕГО И ХОЛОДНОГО ИСТОЧНИКА ПУТЕМ ОТЪЕМА ЭНЕРГИИ ОТ ГОРЯЧЕГО И ПЕРЕДАЧИ ЧАСТИ ТЕПЛА ХОЛОДНОМУ

в)энтропия при стремлении системы к равновесию увеличивается.

г)в неравновесном процессе энтропия увеличивается

3.абсолютный нуль температуры недостижим.

При абсолютном нуле в основном состоянии энтропия равна нулю(теорема Нэрнста)

Основные аксиомы термодинамики.

1. Существование термодинамического равновесия.

2. Аддитивность энергии: внутренняя энергия складывается из кинетической и потенциальной энергии взаимодействия частиц друг с другом.

3. Существование температуры.

Основные законы термодинамики.

1. Тепло, подведенное к системе, тратится на изменение внутренней энергии и совершение работы. Если работа совершается над системой, то работа отрицательна, если самой системой – работа положительна.

2. Тепло может передаваться лишь от более нагретого тела к менее нагретому.

Клаузис: « Не может быть получено полезной работы лишь отнятием тепла у нагретого

источника».

Данный закон определяет направленность процессов.

3. Абсолютный нуль температуры недостижим

Термодинамические процессы.

Если выравнивание параметров макросистемы происходит быстрее, чем возмущаещее воздействие окружающей среды, то можно говорить о равновесной системе.

Термодинамические процессы

1) изотермический – постоянная температура

Т = const

Рис. График изотермы

- гиперболическая зависимость

Рис. График изотермы

2) изохорический – постоянный объем

P=kT – линейная зависимость давления от температуры

Рис. График изохоры

Рис. График изохоры

3) изобарный – постоянное давление

Рис. График изобары

Закон Шарля:

,

.

Работа в термодинамическом процессе

Первый закон термодинамики можно записать

- потенциальная энергия.

Теплоёмкость.

Это количество тепла, необходимое для повышения температуры тела на 1 градус.

удельная (молярная) теплоемкость – для единицы массы

В изохорном процессе

И

Теплоемкость для изохорного процесса выражается через внутреннюю энергиию

, где функция объема и температуры

Поскольку полный дифференциал для внутренней энергии может быть выражен в виде

Деля обе части на дТ

Получаем для теплоемкости

dV/dT

Энтропия

Определим энтропию

Чтобы получить функцию состояния, следует тепло отнести к температуре. Функция, которая при этом получается- потенциальна

- энтропия

Для количества тепла можно записать

При одинаковой температуре в системе энтропии складываются

- энтропия аддитивна.

4) адиабатный процесс

- равновесный процесс

- неравновесный процесс

При равенстве теплот энтропия в процессе с меньшей температурой -больше

;

Разность энтропий в круговом процессе

Круговые процессы, или циклы.

В круговом процессе изменение внутренней энергии равно нулю, поскольку внутренняя энергия является функцией состояния, то при возвращении в исходную точку ее значение остается прежним и разность равна нулю

Тепло подведенное в цикле тратится на совершение работы

Отношение работы, полученной в цикле, к теплу подведенному к системе называется коэффициентом полезного действия или кпд

- коэффициент полезного действия (КПД)

Выражая работу через разность теплот, для кпд получим

- полученное тепло

- отданное тепло

В частном случае: цикл Карно.

Цикл Карно.

Цикл, состоящий из двух адиабат и двух изотерм – цикл Карно.

В TS – диаграмме – это прямоугольник

Рис. Цикл Карно

1-4, 2-3 – адиабата

1-2, 4-3 – изотерма

По определению энтропии

Тогда кпд цикла Карно будет равен

Лекция № 14

Если - произвольна в процессе.

для процесса (1-2).

Если процесс происходит при максимальных температурах.

Если при минимальных

Из этих неравенств следует что

;

Или добавляя единицу к обеим частям

В правой части по определению кпд цикла Карно

Вывод: цикл Карно имеет наибольший КПД по сравнению с остальными циклами.

Рис. Зависимость кпд цикла Карно от температуры

Максимальная работоспособность термодинамической системы определяется работой, которую может совершить система при максимальной разности температур в цикле с максимальным кпд. Максимальная разносить температур – это разность между максимальной температурой системы и температурой окружающей среды, максимальный кпд – это кпд цикла Карно

; ; - эксэргия.

Эксергия – максимальная работоспособность системы.

Еще одна формулировка второго начала термодинамики:

Вечный двигатель невозможен.

; ;

C=δQ/dT

при

при

так как ,

дифференцирование обеих частей уравнения дает

;

Подставляем в формулу для теплоемкости выражения для первого и второго слагаемого

- формула Майера.

;

1 степень свободы;

- теплоемкость моля газа.

;

если учесть

то теплоемкость будет

Рис. Зависимость теплоемкости от температуры