3.2. Модели диалога на основе произведений логик

3.2.1. Подход от лингвистики к логике

Рассмотрим диалог, происходящий между поставщиком и заказчиком при заказе на поставку товара. Пусть имеется набор товаров G: {G₁,G₂,…,G_n}, каждый товар описывается набором параметров P(G_i)=<p₁,p₂,…,p_m> (базовая стоимость, модель, размер, вид, цвет и т.п.). Условия поставки товара также описываются другим набором параметров S(G_i)=<s₁,s₂,…,s_k> (стоимость партии, ее размер, сроки поставки). В процессе диалога стороны должны прийти к соглашению, относительно параметров доставки и заключить контракт. Согласно классическому протоколу ведения переговоров, заказчик должен сначала сформулировать свои требования и отправить их поставщику, который, в свою очередь, должен выдвинуть предложения, относительно предполагаемой поставки и ее условий, заказчик может согласиться, отказаться или потребовать пересмотра требований и выдвинуть контрпредложение, которое в свою очередь может быть принято, отклонено и/или модифицировано поставщиком. Переговоры завершаются либо после заключения контракта, либо если стороны приходят к соглашению о невозможности взаимовыгодной сделки.

Протокол взаимодействия, подходящий для подобного случая диалога был приведён в главе 2. Это протокол последовательных монотонных уступок. Использование протокола взаимодействия позволяет автоматизировать и упростить ведение переговоров, однако каждый раз для достижения цели придется проходить полный цикл переговоров.

Повысить эффективность переговоров можно путем внедрения специального алгоритма, анализирующего истории взаимодействия фирмы с поставщиками. Одним из наиболее удобных способов построения такого алгоритма является использование многозначной логики для моделирования процесса переговоров.

Переменными среды в данном случае будут товары и условия их поставки. Реакцией собеседников на конкретное предложение о поставке может быть либо согласие - T, либо отвержение - F, либо частичное согласие (выдвижение контрпредложения) - I. Получаем девятизначную логику {<T,T>,<T,I>,<T,F>,<I,T>,<I,I>,<I,F>,<F,T>,<F,I>,<F,F>} с выделенным значением <T,T>. На основании знаний, полученных собеседниками из истории взаимодействия или иных источников, можно делать априорные выводы о результате переговоров.

3.2.2. Произведения решёток и логик, бирешётки

При использовании многозначных логик с размерностью более 3 элементов [17,18], а именно такие логики наиболее удобны для описания ситуаций диалога, важную роль играет теория бирешёток, основанная на теории решёток [12,34], впервые предложенная Гинсбергом [144], развитая в работах Фиттинга [141,142,143] и Аврона [129]. Дадим некоторые определения.

Определение 3.1. Предбирешёткой называется структура (B, _t, _k), где _t и _k – частичные порядки на B, каждый из которых образует структуру алгебраической решетки (с точной верхней и нижней гранями).

Если (B, _t, _k) предбирешётка, то на ней можно определить операции  и  как взятие точной верхней и точной нижней граней на решетке (B, _t), и ,  как взятие точной верхней и нижней граней на решётке (B, _k). Также обозначим как t и f наибольший и наименьший элементы решётки (B, _t), а T и  наибольший и наименьший элементы решётки (B, _k).

Определение 3.2. Пусть (B, _t, _k) предбирешётка. На ней определена операция отрицания, если существует отображение  : B  B, такое что:

x _t y  y _t x,

x _k y  x _k y,

x = x.

Определение 3.3. Пусть (B, _t, _k) предбирешётка. На ней определена операция слияния, если существует отображение  : B  B, такое что:

x _t y  x _t y,

x _k y  y _k x,

 x = x.

Определение 3.4. Предбирёшетка с отрицанием (B, _t, _k, ) называется бирешёткой.

Определение 3.5. Бирешётка (B, _t, _k) является дистрибутивной, если все операции , ,  и  дистрибутивны друг относительно друга.

Определение 3.6. Бирешётка (B, _t, _k) является сплетенной бирешёткой, если все операции , ,  и  монотонны относительно порядков _t, _k

Каждая дистрибутивная бирешётка является сплетённой [174].

Определение 3.7. Пусть (L₁, ₁) и (L₂, ₂) – решетки. Тогда L₁L₂ есть бирешётка вида (L₁ x L₂, _t, _k), где:

<x₁,x₂> _t <y₁,y₂>  x₁ ₁ y₁ и y₂ ₂ x₂,

<x₁,x₂> _k <y₁,y₂>  x₁ ₁ y₁ и x₂ ₂ y₂,

Очевидно, бирешётка L₁L₂ всегда является сплетённой, а если L₁ и L₂ дистрибутивны, то и L₁L₂ также дистрибутивна. Операции , , ,  на L₁L₂ определяются следующим образом:

<x₁,x₂><y₁,y₂> = < x₁y₁, x₂y₂>

<x₁,x₂><y₁,y₂> = < x₁y₁, x₂y₂>

<x₁,x₂><y₁,y₂> = < x₁y₁, x₂y₂>

<x₁,x₂><y₁,y₂> = < x₁y₁, x₂y₂>

Определение 3.8. Бирешётка является билинейной, если любые ее два элемента сравнимы по крайней мере по одному из ее порядков.

Для класса билинейных бирешёток в [120] доказано, что любая эквивалентность формул имеет место также и в четырёхзначной решётке Белнапа, т.е. любая логика операций , , , ,  на такой бирешётке сводима к логике Белнапа.

Определение 3.9. Бифильтром бирешётки B является непустое множество F  B, такое что:

a  b  F если a  F и b  F

a  b  F если a  F и b  F

Определение 3.10. Бифильтр называется первичным, если также удовлетворяются следующие условия:

a  b  F если a  F и b  F

a  b  F если a  F и b  F

Определение 3.11. Логической бирешёткой называется пара (B, F), где B – бирешётка, а F – первичный бифильтр.

Наименьшей логической бирешёткой является логика Белнапа (FOUR, {t,T}), кроме того, согласно [120] каждая дистрибутивная бирешётка может быть превращена в логическую бирешётку.

В логической бирешётке (B, F) означивание v на B, есть функция, задающая истинностное значение каждой атомарной формуле, означивание не атомарных формул происходит стандартным образом, вычислением значения. Означивание v выполняет формулу  (v |= ), если v()  F. Означивание, выполняющее каждую формулу в заданном наборе формул , называется моделью , набор всех моделей  обозначается mod().

Операция материальной импликации p|q, определённая как pq, не является удобной для описания вывода, в [120] вводится следующая операция импликации:

Определение 3.12. Пусть (B, F) – логическая бирешётка. Определим:

a  b = b, если a  F,

t, в противном случае.

Определение 3.13. Сильная импликация и эквиваленция определяются следующим образом:

   = (  )  (  )

   = (  )  (  )

Для бирешёток получено множество интересных результатов, в частности в [122] доказано, что вывод в любых логических бирешётках с операциями {, , , ,  } сводим к выводу на четырёхзначной бирешётке. Мы будем пользоваться в дальнейшем отдельными определениями и результатами, полученными в теории бирешёток, однако бирешётки не полностью отвечаю требованиям, налагаемым на диалоговые решётки, в частности, требованию кооперативности.