3.7. Бесконечнозначные (нечёткие) логики диалога.

Особого разговора заслуживают бесконечнозначные (нечёткие) логики диалога, базирующиеся на бесконечнозначных (нечётких) логиках базовых агентов. Рассмотрим наиболее характерный пример такой логики (см. рис 3.12):

Рис 3.12. Бесконечнозначная логика диалога L_d = [0,1]x[0,1].

Основные операции задаются следующим образом:

<x,y> = <x, y> (3.34)

<x₁,y₂><x₂,y₂> = <x₁x₂,y₁y₂> (3.35)

<x₁,y₂><x₂,y₂> = <x₁x₂,y₁y₂> (3.36)

<x₁,y₂><x₂,y₂> = <x₁x₂,y₁y₂> (3.37)

Аналогичным образом на L_ можно задать и все прочие операции базовых логик. Все эти операции будут являться дистрибутивными относительно произведения логик, поэтому, согласно лемме 3.2, такая система операций L_d будет не полной в функциональном смысле, но это не так важно: у непрерывнозначных логик не существует конечных функционально полных систем логических операций. Тем не менее, для того, чтобы диалоговая логика имела большую практическую ценность, представляется целесообразным дополнить систему определениями следующих функций:

_&<x,y> = <x,y> (3.38)

_&<x,y> = <1-|x-y|,1-|x-y|> (3.39)

Выше даны определения операций возражения _& и координации _&. Их семантика такова. Возражение представляет собой рефлексивную перестановку, смену ролей агентов. Операция координации определяет, насколько близки или далеки мнения агентов друг от друга и возвращает <1,1> (абсолютную истину), если эти мнения полностью совпадают.

Вот некоторые свойства этих операций:

_&_&x = _&_&x = _&x (3.40)

_&x=_&x, _&(xy)=_&x_&y, _&(xy)=_&x_&y, _&(xy)=_&x_&y (3.41)

Построение полноценного логического вывода на L_d представляется достаточно нетривиальной задачей, сильно зависящей от свойств базовых операций логик агентов, однако можно применить алгебраический подход, позволяющий определять значения логической формулы при заданных аргументах.

Рассмотрим пример построения логического вывода формул диалогового произведения нечётких пропозициональных логик Заде [39]. Для таких логик существует механизм вывода, основанный на аналитических таблицах [66]. Метод пригоден для доказательства выполнимости (общезначимости) систем предложений вида c, c, >c, <c. Пусть  - множество – всех таких предложений, т.е.

 = {c, c, >c, <c|, c[0,1]}, (3.42)

где  - множество всех формул логики. Доказательство выполнимости формул из  осуществляется при помощи следующих правил:

п1:	c	п2:	c	п3:	>c	п4:	<c
	1-c		1-c		<1-c		>1-c
п5:	c	п6:	c	п7:	>c	п8:	<c
	c c		c|c		>c >c		<c|<c
п9:	c	п10:	c	п11:	>c	п12:	<c
	c|c		c c		>c|>c		<c <c
п13:	c	п14:	c	п15:	>c	п16:	<c
	1-c|c		1-c c		<1-c|>c		>1-c <c

Добавим в приведённую систему следующие правила:

п1*:	&c		п2*:	&c		п3*:	&>c		п4*:	&<c
	& c c	&*c		& c &*c c			& c c	&*c		& <c &*<c <c
п5*:	&c		п6*:	&c		п7*:	&>c		п8*:	&<c
	& c &*c c			&c c	&*c		& >c &*>c >c			&<c <c	&*<c

Данные правила позволяют работать со следующими недистрибутивными связками:

_&<x,y> = <min{x,y}, min{x,y}> (3.43)

_&<x,y> = <max{x,y}, max{x,y}> (3.44)

Метод аналитических таблиц с использованием правил п1-п16, а также п1*-п8* позволяет осуществлять вывод на L_ аналогично выводу на диалоговом произведении конечнозначных логик. Сопрягаемыми ветвями при этом будут считаться ветви, такие что:

1. для каждого вхождения формулы вида _&*_i<с₁ в одну из ветвей, не существует вхождения _&i>с₂ или _&iс₂ в другую ветвь, такого что с₂с₁;

2. для каждого вхождения формулы вида _&*_iс₁ в одну из ветвей, не существует вхождения _&iс₂ в другую ветвь, такого что с₂>с₁, или вхождения _&i>с₂, такого что с₂с₁;

3. для каждого вхождения формулы вида _&*_i>с₁ в одну из ветвей, не существует вхождения _&i<с₂ или _&iс₂ в другую ветвь, такого что с₂с₁;

4. для каждого вхождения формулы вида _&*_iс₁ в одну из ветвей, не существует вхождения _&iс₂ в другую ветвь, такого что с₂<с₁, или вхождения _&i>с₂, такого что с₂с₁.

5. для каждого вхождения формулы вида _&*_i>с₁ в одну из ветвей, не существует вхождения _&i<с₂ или _&iс₂ в другую ветвь, такого что с₂>с₁;

6. для каждого вхождения формулы вида _&*_iс₁ в одну из ветвей, не существует вхождения _&iс₂ в другую ветвь, такого что с₂<с₁, или вхождения _&i<с₂, такого что с₂с₁;

7. для каждого вхождения формулы вида _&*_i<с₁ в одну из ветвей, не существует вхождения _&i>с₂ или _&iс₂ в другую ветвь, такого что с₂с₁;

8. для каждого вхождения формулы вида _&*_iс₁ в одну из ветвей, не существует вхождения _&iс₂ в другую ветвь, такого что с₂>с₁, или вхождения _&i<с₂, такого что с₂с₁.

Таким образом, алгоритмы и методы построения вывода для диалогового произведения нечётких пропозициональных логик Заде почти полностью совпадают с конечнозначным случаем, тем не менее, существует ряд недостатков: вывод на произведении логик Заде возможен лишь для ограниченного класса формул, также операции _& и _& не всегда удобно использовать для описания взаимодействия агентов.

Рассмотрим далее специальный случай диалога: внутренний диалог, то есть рефлексивные рассуждения.