Вказівки до рішення.

За наведеним диференційним рівнянням швидкість розчинення є пропорційною кількості нерозчиненої речовини і з часом процес розчинення згасає. В цьому можна переконатися з його рішення:

; ln m = - k+ С₁; m = е^-К·+С1 = С₂ ·е^{- К·τ}

Сталу інтегрування С₂ знаходимо з початкових умов: при τ=0 початкова кількість нерозчиненої речовини m=m₀. Тоді маємо:

m₀=C₂ = m₀

і кінцево отримуємо:

m = m₀e^-К·.

Значення часу для досягнення деякої заданої величини m отримують шляхом логарифмування цього рівняння. Для побудови графіку m = f(τ) можна використати початкову точку (τ = 0; m = m₀), дві вже визначені (τ = τ₁; m = m₁ та τ = τ₂; m = m₂) та ще дві – три точки, наприклад, при = ; = ; = .

Задача 3

Знайти температуру t тіла, що змінюється за рівнянням , через час τ = τ₁, хвилин, якщо при τ = 0 t = t₀, ⁰С. Теплоємність тіла С, Дж/(кг·К); його густина ρ, кг/м³; об^/єм V, м³; площа поверхні F, м²; густина теплового потока q = α(t_ср-t), Вт/м²; коефіцієнт тепловіддачи α, Вт/(м²·К); температура середовища t_ср, ⁰С. За який час температура досягне t = t₂,⁰С? Побудуйте графік зміни температури тіла у часі.

Таблиця 3 Вихідні дані до задачі 3.

№ варіанта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
С, Дж/(кг·К)	400	425	450	475	500	525	550	575	600	625
ρ, кг/м3	7700	7720	7740	7760	7780	7800	7820	7840	7860	7880
V, м3	0,08	0,09	0,1	0,11	0,12	0,08	0,09	0,1	0,11	0,12
F, м2	1,6	1,7	1,8	1,9	2	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5
α, Вт/(м2·К)	100	90	80	75	70	65	60	55	50	45
tср,0С	0	0	0	0	0	400	450	500	550	600
τ1, хвилин	15	20	25	30	35	30	25	20	15	10
t0, 0С	400	450	500	550	20	20	20	20	20	20
t2,0С	200	150	200	150	200	150	200	150	200	150

Вказівки до рішення.

Наведене диференційне рівняння першого порядку можна записати наступним чином:

; .

Зважаючи на те, що t_ср = соnst, перетворимо отримане рівняння, проінтегруємо його та виконаємо потенціюнування отриманого рішення:

; ;

.

Визначимо з початкових умов сталу інтегрування С₂:

• при τ = 0; .

Таким чином, маємо:

або .

З передостаннього виразу можна визначити температуру тіла t₁ у будь-який момент часу τ₁, а шляхом логарифмування останнього виразу можна знайти час τ₂ досягнення заданої температури тіла t₂. Для побудови графіку t = f(τ) можна використати початкову точку (τ = 0; t = t₀), дві вже визначені (τ = τ₁; t = t₁ та τ = τ₂; t = t₂) та ще дві – три точки, наприклад, при = ; =; = або інші.

Всі розрахунки слід виконувати у системі СІ.