23.4. Ефект Доплера в акустиці

Ефект Допплера полягає в зміні частоти звукових коливань при русі джерела або приймача відносно середовища, у якому поширюються звукові хвилі.

Позначимо: c — швидкість звуку в даному середовищі; u і v — швидкість відповідно джерела й приймача відносно середовища. Різні окремі випадки руху джерела й приймача наведені в табл. 23.2.

Зробимо необхідні коментарі.

У випадку 2 приймач рухається назустріч джерелу; швидкість звуку відносно приймача стає c+v. Формула (23.2) виходить із (23.1) заміною в чисельнику с  с+v.

У випадку 3 джерело рухається назустріч приймачу. Поки хвиля проходить у напрямку до приймача відстань, що дорівнює довжині хвилі ₀, джерело встигає зміститися на відстань uT, де T — період коливань. Джерело як би стискає хвилю в напрямку свого руху і її довжина буде

.

Таблиця 23.2

№№	Рух джерела або приймача	Частота
1			(23.1)
2			(23.2)
			(23.2а)
3			(23.3)
			(23.3а)
4			(23.4)

Формула (23.3) виходить із (23.1) заміною в знаменнику:

.

У формулі (23.4) (загальний випадок) верхній знак береться у випадку зближення приймача й джерела, а нижній – у випадку віддалення.

Ефект Допплера використовується для визначення швидкості різних рухомих тіл, починаючи від астрономічних об'єктів (зірок і галактик) і закінчуючи судами й автотранспортом.

24. Електромагнітні хвилі

24.1. Рівняння плоскої електромагнітної хвилі

Рівнянням Максвелла в інтегральній формі, наведеним в §20.2, за допомогою відомих теорем векторного аналізу (теорем Стокса й Остроградського-Гаусса) можна надати диференціальну форму (Додаток 6):

(24.1)

У координатній формі рівняння Максвелла (24.1) мають вигляд

(24.2)

Розглянемо випадок необмеженого однорідного середовища, що представляє собою діелектрик, у якому відсутні електричні заряди. Для такого середовища й  = 0. Крім того, будемо припускати, що векторні характеристики електромагнітного поля (і відповідно і ) залежать тільки від координати x. Тоді система рівнянь (24.2) приймає вигляд

(24.3)

З рівнянь (a), (d), (g) і (h) випливає, що x-компоненти електромагнітного поля B_x і D_t не залежать від x і t, тобто B_x(x,t)=const, D_x(x,t)=const.

Чотири рівняння, що залишилися, розпадаються на дві незалежних системи рівнянь. В одну з них входять y-компоненти електричного поля та z-компоненти магнітного поля, а в іншу — z-складові електричного та y-складові магнітного поля:

	(24.4)
	(24.5)

Ці системи рівнянь однотипні, тому обмежимося розглядом однієї з них – системи рівнянь (24.4).

Ураховуючи, що , а перепишемо систему рівнянь (24.4) у вигляді

;	(24.6)
.	(24.7)

Тепер, щоб знайти залежність змін електричного поля в просторі від його ж змін у часі, продиференціюємо (24.6) і (24.7) відповідно за координатою і часом:

;	(24.8)
.	(24.9)

Змішані похідні рівні, тобто , тому з (24.8) і (24.9) легко дістати

.

(24.10)

Останнє рівняння і являє собою рівняння плоскої електромагнітної хвилі. Аналогічне рівняння можна одержати й для магнітної складової

.

Порівнюючи (24.10) з (22.5), можна встановити, що швидкість електромагнітної хвилі визначається виразом

.

(24.11)

Співмножник — це швидкість поширення електромагнітних хвиль у вакуумі:

 м/с.

Таким чином, швидкість поширення електромагнітних хвиль у вакуумі збігається зі швидкістю світла. У середовищі швидкість поширення електромагнітних хвиль зменшується:

.

(24.12)

Оскільки в більшості речовин (крім феромагнетиків)   1, то з великим ступенем точності можна записати

.

(24.13)

Електромагнітні хвилі є поперечними: вектори напруженості електричного ( ) і магнітного ( ) полів, а також напрямок швидкості поширення електромагнітної хвилі утворюють трійку взаємно перпендикулярних векторів (рис. 24.1). Зауважимо, що коливання електричного й магнітного полів в біжучій електромагнітній хвилі відбуваються в однаковій фазі.

Рис. 24.1