8. Приведение к каноническому виду уравнений гиперболического типа.
Определим,
как нужно вводить новые переменные
и
,
чтобы уравнение
(1*) приняло наиболее простой вид.
Будем предполагать, что:
-
уравнение (1*) принадлежит к одному типу в D;
-
коэффициенты
и
одновременно в нуль не обращаются; -
для определённости пусть
.
Для того чтобы коэффициент
, необходимо в качестве функции
выбрать решение уравнения
(2*):
Функция
двух переменных
является частным решением уравнения
тогда и только тогда, когда выражение
представляет собой общий интеграл
обыкновенного Д.У.
Уравнение (2) называется характеристическим
уравнением для уравнения (1*), а его
интегралы – характеристиками. Полагая
,
где
– есть общий интеграл уравнения (2), мы
обращаем в нуль коэффициент при
.
Представим уравнение (2) в виде
Уравнение (2а) распадается на два уравнения:
Рассмотрим
уравнение гиперболического типа. Тогда
и правые части уравнений
действительны и различны. Пусть
и
– их общие интегралы. Полагая
,
,
имеем:
Здесь
Выражение (4) называется каноническим видом уравнения гиперболического типа. Для уравнений данного типа часто используют другую каноническую форму. Полагая
Имеем
В результате уравнение (4) принимает вид:
Где
9. Приведение к каноническому виду уравнений параболического типа.
Определим,
как нужно вводить новые переменные
и
,
чтобы уравнение
(1*) приняло наиболее простой вид.
Будем предполагать, что:
-
уравнение (1*) принадлежит к одному типу в D;
-
коэффициенты
и
одновременно в нуль не обращаются; -
для определённости пусть
.
Для того чтобы коэффициент
, необходимо в качестве функции
выбрать решение уравнения
(2*):
Функция
двух переменных
является частным решением уравнения
тогда и только тогда, когда выражение
представляет собой общий интеграл
обыкновенного Д.У.
Уравнение (2) называется характеристическим
уравнением для уравнения (1*), а его
интегралы – характеристиками. Полагая
,
где
– есть общий интеграл уравнения (2), мы
обращаем в нуль коэффициент при
.
Представим уравнение (2) в виде
Уравнение (2а) распадается на два уравнения:
Пусть уравнение (1*) относится к
параболическому типу. Тогда интегралы
уравнения (2) совпадают. Положим
.
В качестве второй независимой переменной
η выберем произвольную функцию
,
не зависящую от
,
т.е. потребуем выполнения неравенства
При таком выборе новых переменных
коэффициент
обращается в нуль. Из условия параболичности
также следует:
.
Поскольку тип уравнения не изменяется
при переходе от одних независимых
переменных к другим, то
.
Таким образом, каноническая форма для уравнения параболического типа имеет вид:
где
Если
,
то уравнение (4) будет являться обыкновенным
Д.У., зависящим от
как от параметра.
10. Приведение к каноническому виду уравнений эллиптического типа.
Определим,
как нужно вводить новые переменные
и
,
чтобы уравнение
(1*) приняло наиболее простой вид.
Будем предполагать, что:
-
уравнение (1*) принадлежит к одному типу в D;
-
коэффициенты
и
одновременно в нуль не обращаются; -
для определённости пусть
.
Для того чтобы коэффициент
, необходимо в качестве функции
выбрать решение уравнения
(2*):
Функция
двух переменных
является частным решением уравнения
тогда и только тогда, когда выражение
представляет собой общий интеграл
обыкновенного Д.У.
Уравнение (2) называется характеристическим
уравнением для уравнения (1*), а его
интегралы – характеристиками. Полагая
,
где
– есть общий интеграл уравнения (2), мы
обращаем в нуль коэффициент при
.
Представим уравнение (2) в виде
Уравнение (2а) распадается на два уравнения:
Пусть уравнение (1*) – уравнение
эллиптического типа. Характеристическое
уравнение в этом случае имеет два
комплексных интеграла:
и
Если
в качестве новых переменных выбрать
то
мы придем к такой же канонической форме,
что и для уравнения гиперболического
типа. Но в таких случаях обычно предпочитают
работать с действительными переменными.
Поэтому положим:
Тогда
.
В этом случае
Выражения в скобках равны коэффициентам
при старших производных уравнения (1*),
записанного относительно переменных
и
.
Тогда имеем:
⇒
Т.о. каноническая форма эллиптического типа следующая:
Здесь
