14. Основная идея и расчетная схема метода разделения переменных.

Рассмотрим далее решение волнового уравнения методом разделения переменных.

Будем искать решение уравнения удовлетворяющее однородным граничным условиям и начальным условиям

Уравнение (1) линейно и однородно. Поэтому сумма частных решений этого уравнения также является его решением. Представим частное решение в виде произведения

где – функция только переменного x, а – функция только t. Подстав­ляя (4) в (1):

Поделим полученное уравнение на :

По условию переменные x и t независимы. В левой части равенства нахо­дится функция только от x, а в правой – только t. Фиксируя, некото­рое значение x и меняя t , получим, что правая и левая части равенства (5) при изменении своих аргументов сохраняют постоян­ное значение

где λ – некоторая произвольная постоянная. Уравнение (6) равносильно системе двух обыкновенных Д.У.

Подставляя (4) в граничные условия, получим:

,

В силу , из граничных условий следует:

Уравнение (7) вместе с граничными условиями (9) образуют задачу о соб­ственных значениях. Найти значения параметра λ, при которых существуют нетривиаль­ные решения задачи

а также найти эти решения.

Значения λ, удовлетворяющие (10), называются собственными значе­ниями, а соответствующие им решения – собственными функциями. Краевая задача (10) называется задачей Штурма-Лиувилля для отрезка.

Решим задачу Штурма-Лиувилля (10). Отдельно рассмотрим случаи, когда параметр λ положителен, отрицателен или равен нулю.

1. Пусть . Решение уравнения (7) имеет вид:

Подставляя полученное соотношение в граничные условия (9), имеем:

,

Определитель, составленный из коэффициентов при и , отличен от нуля, т.е. система уравнений (11) имеет единственное решение:

Таким образом, при уравнение (7) имеет тривиальное решение.

2. При решение уравнения (7) имеет вид:

Подстановка последнего выражения в (9) приводит к системе уравнений для коэффициентов и :

Определитель этой системы равен , т.е. также отличен от нуля. Таким образом, уравнение (7) при также имеет тривиальное решение.

3. Рассмотрим случай . Общее решение уравнения (7) имеет в этом случае вид:

Подставляя (12) в граничные условия, имеем:

Из первого уравнения системы (13) следует:

Тогда второе уравнение этой системы принимает вид:

имеющее два возможных решения:

В первом случае мы получаем тривиальное решение для . Поэтому рассмотрим второе уравнение. Его решение имеет вид

Выражение (14) определяет собственные значения задачи Ш-Л. Собственные функции этой задачи имеют вид:

Собственные функции задачи Ш-Л определяются с точностью до произвольного постоянного множителя.

Рассмотрим теперь уравнение (8) для . Отдельную задачу для мы построить не можем, так как начальные условия не являются однородными. Итак,

Решения уравнения (16) имеют вид:

где и – постоянные коэффициенты.

Подставляя (15) и (17) в (4), получим

Функции являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (2). Общее решение представляется в виде суммы частных решений:

Определим неизвестные пока коэффициенты и из начальных условий.

Выражения (20) представляют собой разложения функций и в ряд Фурье по синусам. Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция , заданная в интервале , разлагается в ряд Фурье

где .

Сравнивая выражение для коэффициентов ряда Фурье с соотношениями (20), получим

,

Таким образом, выражение (19), коэффициенты и которого определяются согласно (21), является общим решением краевой задачи (1) – (3) для колебаний струны.

Перечислим основные этапы решения краевой задачи с помощью метода Фурье в виде алгоритма.

1) Представить искомое решение в виде произведения двух функций:

и разделить переменные.

2) Полученная в результате разделения переменных задача для функции будет являться задачей Ш-Л. Для ее решения также можно воспользоваться расчетной схемой метода разделения переменных.

3) Решить задачу Ш-Л для функции . В результате будут получены соб ф и соб знач .

Если представляет собой функцию нескольких переменных, то вместо n может использоваться несколько индексов, по каждому из которых в последующем будет производиться суммирование.

4) С учетом известных собственных значений задачи Ш-Л найти систему частных решений .

5) Представить искомое решение в виде ряда:

Если вместо n используется несколько индексов, суммирование производится по каждому из них.