13. Постановка задачи ш-л. Основные свойства собственных значений и собственных функций.

Рассмотрим метод разделения переменных для решения уравнений мат физ. Суть его состоит в построении решения начально-краевой задачи в виде ряда по некоторой ортонормированной системе функций. Задача:

С граничным условием

И с начальным условием

Для построения системы функций, по которой удобно разлагать решение задачи (1)-(3) рассмотрим вспомогательную задачу:

Найти нетривиальные в Q решения уравнения

удовлетворяющие однородному граничному условию (2) и представимые в виде произведения

Подставляя (4) в (1), разделяя переменные, решая два полученных уравнения для и , получаем

,

Мы получили равенство, каждая часть которого является функцией только одной переменной, такое равенство справедливо, если:

Тогда из последнего равенства следуют уравнения:

Мы получили две задачи, каждая из которых каждая из которых зависит только от одной переменной. Учитывая граничное условие (2), получаем для определения функции задачу, которая называется задачей Штурма-Лиувилля:

λ - собственные значения оператора L в D с однородными граничными условиями; - ненулевые решения – есть собственные функции задачи (8).

Перечислим основные свойства собственных функций и собственных значений:

1. Существует бесконечное счётное множество собственных значений и собственных функций .

2. При увеличении номера n собственные значения неограниченно возрастают.

3. Каждому собственному значению соответствует лишь конечное число линейно-независимых собственных функций, то есть ранг всех собственных значений ограничен.

4. Будем считать, что в последовательности собственных значений каждое из них повторяется столько раз, каков его ранг.

5. При собственные значения задачи Дирихле () положительны, то есть при всех n.

6. Собственные функции ортогональны между собой в D с весом :

7. Произвольная дважды непрерывно дифференцируемая в D функция , удовлетворяющая однородному граничному условию в (8), разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям данной краевой задачи

Это утверждение строго доказано и носит название теоремы разложения Стеклова.

Предположим, что задача Ш-Л (8) решена, получены - собственные значения и - собственные функции, удовлетворяющие условию ортонормированности

Уравнение для (7) при фиксированном есть обыкновенное Д.У. m-го порядка; общее решение его записывается в виде

где - произвольные постоянные, а - ФСР , , удовлетворяющая начальным условиям

Таким образом, решение вспомогательной задачи (3)-(5) задаётся бесконечной счётной системой решений:

где - собственная функция задачи Ш-Л (8), а задаётся выражением (12).

Решение исходной задачи (1)-(3) будем искать в виде разложения в ряд по системе функций (14):

Подставляя начальные условия (1), находим систему уравнений для определения коэффициентов

Умножая (16) на , интегрируя по D и используя ортонормированность собственных функций (11), получаем

ешение задачи (1)-(3) имеет вид (15), где коэффициенты определяются соотношениями (17).

Будем предполагать, что функции удовлетворяют условиям, при которых ряд (15) можно нужное число раз дифференцировать по M и t.