3.3. Расчёт процентов при изменяющейся сумме вклада на счёте

На рис. 3 показан график изменения суммы вклада на счёте, где сумма вклада, хранящаяся неизменной в течение интервала времени .

Если проценты за период не капитализируются, т. е. не присоединяются к сумме вклада, то согласно формуле (3) проценты за этот период равны

. (7)

Суммируя по всем периодам, получаем общую сумму процентов по вкладу:

. (8)

Полученный результат можно очевидным образом обобщить на произвольное число периодов срока хранения вклада на счёте.

Замечание.

Рассмотренный пример показывает, что в схеме простых процентов начисление процентов производится по периодам, в течение которых исходная сумма денежных средств не изменяется.

3.4. Наращение по схеме простых процентов при переменной ставке

Наличие инфляции заставляет варьировать процентную ставку . В соглашениях оговаривают плавающую процентную ставку

,

где база (норма) процента, маржа (margin) равная примерно . Пусть процентная ставка на интервале времени . Тогда наращенная сумма равна

. (9)

Если общий срок предоставления ссуды равен , то взвешенная средняя процентная ставка

, (10)

наращенная сумма

. (11)

3.5. Наращение с капитализацией (реинвестированием) процентов

Пусть срок ссуды разбит на периодов длительностью , , и процентной ставкой в периоде .

В первом периоде наращенная сумма процентов составила

и эти проценты были присоединены к основной сумме . Таким образом, в следующем периоде наращение производится на сумму

.

Это в конце второго периода даст сумму процентов

,

а наращенная сумма за два периода будет равна

.

Обобщая на все периодов, получим формулу наращения

. (12)

Важным является частный случай, когда все интервалы времени равны, т. е. , и равны процентные ставки: . Тогда формула (12) принимает вид:

. (13)

Замечание.

Формула (13) приводит нас к схеме сложных процентов.

3.6. Факторный учёт векселя

Рассмотрим диаграмму, которая наглядно показывает составляющие схему учёта банком векселя (рис. 4) Заёмщик решил взять кредит на сумму на срок по процентной ставке . Им был выписан вексель на сумму к моменту погашению. Эта сумма была вычислена по схеме простых процентов:

.

По истечении некоторого времени владелец векселя принял решение учесть в банке (продать банку и получить наличными или положить на счёт для дальнейшего использования). Время до момента погашения векселя равно выбирается им в соответствии с выполнением неравенства (6):

,

где учётная ставка, которую предложил банк владельцу векселя. На момент учёта векселя наращенная стоимость

.

Однако, банк, оказывая услугу по учёту векселя, желает получить комиссионные и проценты , которые в сумме составляют дисконт (скидку) с суммы . По этому на руки владелец векселя получит сумму

.

При этом . Комиссионные за услугу составят

.