4. Сложные проценты
4.1. Наращение сложных процентов
Для поощрения долгосрочных вкладов клиентов применяют процедуру капитализации процентов, т. е. присоединение начисленных процентов к базе и в дальнейшем начисление процентов на эту сумму. Такая схема процентов называется схемой сложных процентов.
Наиболее
простой вид алгоритма наращения по
схеме сложных процентов получим, если
в формуле (13) положим
:
,
.
(35)
В
общем случае в формуле (35) число
положительное
вещественное число (целое или дробное).
Так, если
целое число, то
наращенная
сумма за
годовых периодов при начальной сумме
ссуды при процентной ставке
.
Множитель
называется множителем наращения.
Поучаемые проценты
.
(36)
Если
периодов
начисления с капитализацией процентов
произвольны, но исчисляется каждый
целым числом лет
и годовая ставка процентов
переменная , то наращенная сумма
,
,
(37)
.
Замечание.
Отвечая
на вопрос «Чему равно
,
чтобы удвоить первоначальную сумму
,
т. е. получить
?»,
получим:
-
по схеме простых процентов
; -
по схеме сложных процентов
.
4.2. Смешанная схема процентов
Сравнение процессов наращения по схеме простых процентов со схемой сложных процентов показывает, что на временном интервале до 1 года наращенная сумма по схеме простых процентов оказывается больше. Отсюда вывод: кредитор применяет схему сложных процентов на интервалах более 1 года, а простую – на интервалах до 1 года.
Если
нецелое число лет, то представим его в
виде суммы целой и дробной частей:
.
Тогда исчисление наращенной суммы по формуле
(38)
называют смешанной схемой сложных процентов.
4.3. Внутригодовые процентные начисления
Вновь вернемся к формуле (13) и запишем её в виде
,
(39)
где
число
процентов начислений в году;
годовая
ставка, где
указывает число начислений в год, или
номинальная
процентная ставка.
Тогда обозначив через
общее число начислений за
лет, получим формулу наращения за
лет сложных процентов при
начислениях в год:
.
(40)
4.4. Эффективная годовая процентная ставка
Так как возможны разные схемы начисления сложных процентов, то знание номинальной процентной ставки не позволяет их сравнивать.
Определение.
Ставка,
обеспечивающая переход от текущей суммы
к наращенной
при
однократном начислении процентов,
называется эффективной
и обозначается
.
Применение эффективной ставки должно обеспечивать равносильность схем наращения:
~
.
Замечание. Чем выше эффективная ставка, тем выше расходы заёмщика по обслуживанию полученной ссуды.
Примеры расчета эффективной ставки:
1) в рамках одного года верно равенство
,
из которого получаем
.
(41)
В частности,
.
Обратный переход к номинальной ставке выполняется по формуле:
.
(42)
Определение. Две номинальные ставки называются эквивалентными, если они дают оду и ту же эффективную ставку.
В
контрактах со смешанным способом
начисления процентов по известным
значениям
и
находят эффективную процентную ставку
.
(43)
В США используются номинальные ставки , а в Европе сначала находят эффективную ставку и далее вычисляют наращенную сумму
.