Раздел 2

1 вопрос Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то тогда говорят, что на множестве задана функция. При этом называется независимой переменной (или аргументом), - зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия. Множество называется областью определения (или существования) функции, а множество - областью значений функции. Если множество специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной , т.е. множество таких значений , при которых функция вообще имеет смысл. Пусть f:ХУ и g:УZ - функции. Функция F:XZ, определенная для каждого хХ формулой F(x)=g(f(x)) называется композицией (суперпозицией) функций f и g, или сложной функцией, и обозначается .

Композицию функций можно проиллюстрировать следующим образом:

Пример. Пусть Х= a; b; c; d; e, У= ; ; ; , Z= 1; 2; 3; 4; 5; 6. Пусть f:Х У и g:УZ - функции, определенные соответственно так:

f(a) = , f(b) = , f(c) = f(d) = f(e) = ;

g() = 3, g() = g() = 5, g() = 1. Тогда композиция функций : ХZ будет: а5, b3, с5, d5, e5.

Заметим, что множество значений композиции является подмножеством множества значений функции g, т.е. имеет место

2 вопрос Пусть у=f(х) есть функция от независимой переменной х, определенной на множестве Х с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому y принадлежащему Y единственное значение х принадл-е Х, при котором f(x)=y/ Тогда полученная функция х=ђ(у), определенная на множестве Y с областью значений Х, называется обратной. Функция  является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:

f(g(y)) = y для всех  - g(f(x)) = x для всех 

Примеры

• Если , где a > 0, то F ^{− 1}(x) = log_ax.

Если , где  фиксированные постоянные и , то 

Если , то 

Пример: - взаимно обратные функции

3 вопрос 1) Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любых значений из области определения и нечетной, если. В противном случае функция называется функцией общего вида.

Пример.

а) Функция - четная ,т.к ; б) Функция - нечетная, т.к. ; в)Функция-общеговида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2) Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

Пример.

1) Функция - на интервале монотонно возрастает 2) Функция - на интервале монотонно убывает

3) Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что для любого . В противном случает функция называется неограниченной.

- ограничена на всей числовой оси, т.к. для любого .

4) Периодичность. Функция называется периодической с периодом , если для любых из области определения функции .

Пример.

, период , т.к. для любых .

4 вопрос а) Степенная функция с натуральным показателем (n – натуральное число: ). (непериодическая)

n – четное число Область определения . Область значений . Монотонность: убывает на , возрастает на . Четная.

n – нечетное число Область определения . Область значений . Монотонность: возрастает на . Нечетная.

б) Степенная функция с целым отрицательным показателем (n – натуральное число: ). (непериодическая)

n – четное число Область определения . Область значений . Монотонность: возрастает на , убывает на . Четная.

n – нечетное число Область определения . Область значений . Монотонность: убывает на и на . Нечетная.

в) Степенная функция с положительным показателем меньше единицы (n – натуральное число больше единицы: ;). (непериодическая).

n – четное число Область определения . Область значений . Монотонность: возрастает на . Общего вида.

n – нечетное число Область определения . Область значений . Монотонность: возрастает на . Нечетная.

5 вопрос Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число а_n, то говорят, что задана числовая последовательность {а_n}. Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента а_n=f(n). Числа а1,а2…,аn называются членами последовательности, а число а_n – общим членом данной последовательности. Пример: 2,4,6,8…2n (монотонная, неограниченная); 1,0,1,0,… (не монотонная, ограниченная). Число А называется пределом числовой последовательности {а_n}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ᾲ>0, найдется такой номер N(зависящий от ᾲ, N=N(ᾲ)), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство |a_n-A|< ᾲ. Предел числовой последовательности обозначается , или _. при Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае-расходящейся. Смысл определения предела числовой последовательности состоит в том, что для достаточно больших n члены последовательности {а_n} как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине меньше, чем на число ᾲ., каким бы малым оно не было).

6 вопрос Число е (число Эйлера, число Непера) играет весьма важную роль в математическом анализе. График функции y = e^x получил название экспоненты. Широко используются логарифмы по основанию е, называемые натуральными. Натуральные логарифмы обозначаются символом ln: log_ex = ln x.

К числу е приводят решения многих прикладных задач статистики, физики, биологии, химии и др., анализ таких процессов, как рост народонаселения, распад радия, размножение бактерий и т.п. Числом е (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности e = lim [1 + (1/n)] ⁿ (при n ->oo). Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов.

Первоначальный вклад в банк составил Q₀ денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно p% годовых. Необходимо найти размер вклада Q_t через t лет.

При использовании простых процентов размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одну и ту же величину (p/100)Q₀, т.е.

Q₁ = Q₀(1 + (p/100)), Q₂ = Q₀(1 + (2p/100)), ... , Q_t = Q₀(1 + (pt/100)).

На практике значительно чаще применяются сложные проценты. В этом случае размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и то же число (1 + (p/100)) раз, т.е.

Q₁ = Q₀(1 + (p/100)), Q₂ = Q₀(1 + (p/100))², ..., Q_t = Q₀(1 + (p/100))^t.

Если начислять проценты по вкладам не один раз в году, а n раз, то при том же ежегодном приросте p% процент начисления за (1/n)-ю часть года составит (p/n)%, а размер вклада за t лет при nt начислениях составит:

Q_t = Q₀(1 + (p/100n))^nt.

Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие (n = 2), ежеквартально (n = 4), ежемесячно (n = 12), каждый день (n = 365), каждый час (n = 8760) и т.д., непрерывно (n->оо). Тогда размер вклада за t лет составит:

Q_t = lim [Q₀(1 + (p/100n))^nt] = Q₀ lim [(1 + (p/100n)^100n/p] ^pt/100 (при n->оо)

или с учетом второго замечательного предела (e = lim [1 + (1/x)] ^x, при x->оо) при x = 100n/p ->оо:

Q_t = Q₀ e ^pt/100.

Эта формула выражает показательный (экспоненциальный) закон роста (при p > 0) или убывания (при p < 0). Она может быть использована при непрерывном начислении процентов.

7 вопрос Общие свойства-. Последовательность называется финально постоянной, если$ AО R и $ N, что для всех n>N x_n = A.

свойства предела последовательности

1. Финально постоянная последовательность сходится.

2. Если последовательность сходится, то предел единственен.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

8 вопрос Предел функции в бесконечности: С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции в бесконечности. Если в первом случае переменная возрастая, принимает лишь целые значения, то во втором случае переменная , изменяясь, принимает любые значения.

Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех таких что , верно неравенство:.

Это предел функции обозначается: или при .

Можно сформулировать понятие предела при стремлении к бесконечности определенного знака, т.е. при и при . В первом случае основное неравенство: должно выполнятся для всех таких, что , а во втором – для всех таких, что .

Предел функции в точке: Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .

Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколько угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Это предел функции обозначается: или при .

Если при стремлении к переменная принимает лишь значения, меньшие , или наоборот, лишь значения большие , и при этом функция стремится к некоторому числу , то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева и справа . Свойства пределов функции 1) Предел постоянной величины Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:2) Предел суммы Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы: Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций: Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела: 4) Предел произведения Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций: Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

9 вопрос . Функция называется бесконечно малой величиной при или при , если ее предел равен нулю:. Связь бесконечно малых величин с пределами функций

Теорема 1. Если функция имеет при () предел, равный , то ее можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой при (), т.е. .

Теорема 2. Если функцию можно представить как сумму числа и бесконечно малой при (), то число есть предел этой функции при (), т.е..

. Функция называется бесконечно большой при , если ее предел равен бесконечности:. Свойства бесконечно больших величин

1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.

2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.

3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.

Об отношении или разности двух бесконечно больших функций никакого общего заключения сделать нельзя. В этих случаях говорят о неопределенностях вида или . В зависимости от характера изменения бесконечно больших величин их отношение или разность может оказаться или числом, или бесконечно малой, или бесконечно большой.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами

Теорема. Если функция есть бесконечно малая величина при (), то функция является бесконечно большой при (). И, наоборот, если функция бесконечно большая при (), то функция есть величина бесконечно малая при ().

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом.

10 вопрос Первый замечательный предел. Так называют легко выводимую в курсе математического анализа формулу , где аргумент х измеряется в радианах. Из первого замечательного предела следует эквивалентность при х →0 следующих бесконечно малых величин: ах, sinax; tgax; arcsinax; arctgax. Это означает, что предел отношения двух любых из этих функций при х →0 равен 1.

С помощью этого соотношения можно вычислить массу других неопределенностей, которые без применения первого замечательного предела вычислялись бы сложнее.

11 вопрос Числом (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности : , где

Прямым вычислением можно убедиться, что , (иррациональное число, число Эйлера). Второй замечательный предел необходимо всегда использовать при раскрытии неопределенности вида . Число (число Эйлера, неперово число) играет важную роль в математическом анализе.

12 вопрос Если функция y = f(x) такая, что  для всех x в некоторой окрестности точки a, причем функции  и ψ(x) имеют одинаковый предел при , то существует предел функции y = f(x) при , равный этому же значению, то есть

Название теоремы происходит из того факта, что если два милиционера держат между собой преступника и при этом идут в камеру, то заключённый также вынужден туда идти.

В разных странах эта теорема называется по разному. Теорема сжатия, теорема о двух карабинерах, теорема о сэндвиче (или правило сэндвича), теорема о трёх струнах, теорема о двух жандармах, теорема о двух городовых и пр.

13 вопрос Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим условиям:1) определена в точке , т.е. существует ;

2) имеет конечные односторонние пределы функции при слева и справа;

3) эти пределы равны значению функции в точке , т.е. .

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: .

Свойства функций, непрерывных в точке