25 Вопрос Общая схема исследования функции и построения ее графика.

1. Найти область определения .

2. Исследовать функцию на четность – нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты и точки разрыва (если есть).

4. Исследовать поведение функции в бесконечности; найти горизонтальные и наклонные асимптоты (если есть).

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти точки пересечения графика с осями координат и, если это нужно для схематического построения графика, найти дополнительные точки.

7. Схематично построить график.

Подробная схема исследования функции и построения графика.

1. Найти область определения .

   1. Если у есть знаменатель, он не должен обращаться в 0.

   2. Подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным (больше либо равно нулю).

   3. Подлогарифмическое выражение должно быть положительным.

2. Исследовать функцию на четность – нечетность.

   1. Если , то функция четная.

   2. Если , то функция нечетная.

   3. Если не выполнено ни , ни , то – функция общего вида.

3. Найти вертикальные асимптоты и точки разрыва (если есть).

   1. Вертикальная асимптота может возникнуть только на границе области определения функции.

   2. Если ( или ), то – вертикальная асимптота графика .

4. Исследовать поведение функции в бесконечности; найти горизонтальные и наклонные асимптоты (если есть).

   1. Если , то – горизонтальная асимптота графика .

   2. Если и , то прямая является наклонной асимптотой графика .

   3. Если пределы, указанные в п. a, b, существуют только при одностороннем стремлении к бесконечности ( или ), то полученные асимптоты будут односторонними: левосторонними при и правосторонними при .

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

   1. Найти производную .

   2. Найти критические точки (те точки, где или где не существует).

   3. На числовой оси отметить область определения и ее критические точки.

   4. На каждом из полученных числовых интервалов определить знак производной .

   5. По знакам производной сделать вывод о наличии экстремумов у и их типе.

   6. Найти экстремальные значения .

   7. По знакам производной сделать вывод о возрастании и убывании .

6. Найти точки пересечения графика с осями координат и, если это нужно для схематического построения графика, найти дополнительные точки.

   1. Для того, чтобы найти точки пересечения графика с осью , надо решить уравнение . Точки , где – нули , будут точками пересечения графика с осью .

   2. Точка пересечения графика с осью имеет вид . Она существует, только если точка входит в область определения функции .

8. Схематично построить график.

26 вопрос Эластичность функции у = f(x) показывает относительное изменение значения функции у в расчете на единицу относительного изменения аргумента х.

28 вопрос Пусть имеется переменных величин и каждому набору их значений из некоторого множества соответствует одно вполне определенное значение переменной величины из множества . тогда говорят, что задана функция нескольких переменных .

Переменные называются независимыми переменными или аргументами, - зависимая переменная. Множество называется областью определения функции, множество - областью значений функции.

Функцию двух переменных будем обозначать как .

Определение. Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства (), аппликата которых связана с абсциссой и ординатой функциональным соотношением . График представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве.

Линией уровня функции двух переменных  называется геометрическое место точек на плоскости   , в которых функция    принимает одно и то же значение. Линии уровня функции определяются уравнением  , где . Изучая линии уровня функции, можно исследовать характер ее изменения, не прибегая к пространственному графику.