38 Вопрос Свойства определенного интеграла

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: .

5. Интеграл от алгебраической суммы 2х функций равен такой же сумме интегралов от этих функций: .

6. При перестановке пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный: .

4) Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей: .

5) Если на отрезке , где , , то и , т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

6) Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , то найдется такое значение , что .

Т.о. теорема о среднем утверждает, что найдется такая точка из отрезка , что площадь под кривой равна площади прямоугольника со сторонами и .

39 вопрос Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда исходя из геометрического смысла определенного интеграла площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми (рис. 10.2) численно равна определенному интегралу:

40 вопрос. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом от непрерывной функции на полуинтервале называется предел интеграла при стремящемся к :

. Если этот предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.

При работе с несобственными интегралами выделяют 2 задачи:

1. исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;

2. вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.

Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной (бесконечной) фигуры.

Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной функции с бесконечным нижним пределом интегрирования, а именно.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования обозначается символом

, где .

В курсе теории вероятности встречается несобственный интеграл , называемый интегралом Эйлера-Пуассона. Доказано, что .