Из последних соотношений находим значение :

Отсюда получаем значения нормальных частот:

С равнивая парциальные частоты с одной из нормальных частот , получим:

С ледовательно, обе парциальные частоты меньше частоты нормальных

к олебаний .Точно так же сравниваем значения парциальных частот с другой нормальной частотой - .

Таким образом, обе парциальные частоты больше второй нормальной частоты. Отсюда можно сформулировать следующую характерную особенность колебательных систем с несколькими степенями свободы: значения парциальных частот заключены в промежутке между значениями нормальных частот.

16.22.3. Колебания системы с двумя степенями свободы при наличии трения.

Изучение колебаний системы с двумя степенями свободы при наличии трения проведём на примере уже рассмотренной модели (рис. 131). В отличие от предыдущих случаев, учтём и силы вязкого трения, действующие на каждое из тел системы. Как и при отсутствии трения, изучение колебаний системы рассмотрим отдельно для одинаковых и различных парциальных частей.

16.22.3.1. Изучение колебаний системы с одинаковыми парциальными частями.

В этом случае жесткости собственных пружин отдельных частей одинаковы:

Предположим, что в произвольный момент времени первое тело смещено от его положения равновесия

на , и движется со скоростью . Второе тело имеет смещение , а скорость его

р авна . Тогда на первое тело действует сила упругости собственной пружины  , сила упругости пружины связи и сила вязкого трения ,

н аправленная против скорости и пропорциональная первой степени её, где  - коэффициент трения. На второе тело действует сила упругости собственной пружины , сила упругости пружины связи и сила вязкого трения . По второму закону динамики можно записать уравнения движения для каждого тела:

Разделив обе части каждого из уравнений на массу и вводя обозначение , уравнения движения перепишем в виде:

Для решения уравнений движения введём новые переменные:

С кладывая и вычитая исходные уравнения, получим дифференциальные уравнения в новых переменных:

Э ти уравнения аналогичны по форме дифференциальным уравнениям затухающих колебаний для колебательных систем с одной степенью свободы, поэтому их решения запишем сразу в виде:

П ереходя теперь к прежним переменным, находим в общем виде законы движения тел системы:

Частоты отдельных составляющих ω₁ и ω₂ как это легко показать из (407) и (408), равны:

При найденных законах движения отдельных тел системы их скорости для произвольного момента времени равны:

В исходный момент времени t = t₀ = 0 значения начальных смещений и скоростей равны:

Для определения амплитуд отдельных составляющих и начальных фаз начальные условия удобнее переписать в виде:

Из этих выражений легко подучить искомые величины:

Выражения (409), (410), (411), (412) позволяют записать конкретные законы движения тел системы в различных частных случаях.

а). Оба тела отводятся от их положений равновесия на одно и то же расстояние А в одну сторону и без толчка отпускаются. Начальные смещения и начальные скорости тел в этом случае равны: х₁₀ =х₂₀= А , v₁₀ =v₂₀=0.

Как следует из (410), амплитуда второй составляющей колебания обращается в нуль, и оба тела будут совершать затухающие колебания с одинаковой частотой ω₁.

Амплитуда первой составляющей из (409) равна:

а начальная фаза из (411) определяется равенством

С учётом этого законы движения тел системы имеют вид:

т.е. колебания тел происходят по совершенно одинаковым законам.

б). Первое тело отводится от его положения равновесия на А, а второе - на такое же расстояние, но в противоположную сторону. Оба тела затем без толчка отпускаются. Начальные смещения и скорости тел равны: х₁₀ =A, х₂₀=-A, v₁₀ =v₂₀=0.

Из (409) следует, что на этот раз амплитуда первой составляющей равна нулю, т.е. оба тела должны совершать колебания с частотой ω₂.

И з (410) и (412) находим амплитуду второй составляющей b и начальную фазу φ₂:

Законы движения тел системы при этих значениях представляются в виде:

Как видно, колебания тел в этом случае отличаются только фазой, тела колеблются в противофазе.

в). Первое тело отводится от его положения равновесия на А, а второе - удерживается в своём положении равновесия. Затем оба тела без толчка отпускаются. Начальные смещения и скорости при этом равны: x₁₀ = А, х₂₀=0, v₁₀ = v₂₀ = 0.

И з выражений (409), (410), (411), (412) находим амплитуды составляющих и начальные фазы:

Законы колебаний тел для такого случая принимают форму:

Следовательно, в этом случае колебания каждого из тел представляют собой суперпозицию двух затухающих колебаний с частотами ω₁ и ω₂, равными главным частотам.

Но рассмотрение предыдущих двух случаев показывает, что и для системы с трением можно подобрать такие начальные условия, что в системе будут осуществляться только нормальные колебания.