§9. Дифференцирование элементарных функций.

1. Степенная ф-ция.

Рассм-м

Если целое, то получ-я ф-ла справедлива и при х<0.

2. Тригонометрич. ф-ции.

3. Обратные тригонометрич. ф-ции.

Рассмотрим ф-цию y=arcsin x, Эта ф-ция явл. обратной для ф-ции x=sin y; Исполь-м т. §6-диф-е обр. ф-ции.

Эта ф-ция явл. обратной x=tg y; Тогда

4. Показат. ф-ция.

5. Логорифмическая ф-ция.

y=ln x, x>0.

По опр. ф-ция явл. обр. ф-цией для ф-ции x=e^y, т.к. лог. ф-я – строго монотонна.

По т. диф-е обр. ф-и получаем:

В частности : y=log_a­­­­x­, a>0,

.

6. Гиперболические ф-ции.

Выписать таблицу производных. Из полученной таблицы производных оси. элементар. ф-ций сразу получается таблица дифференциалью оси. элемент. фф-ций. Написать самостоятельно.

d(shx)=chx dx.

Вывод: производная любой элементарной ф-ции представляет собой так-же элементарную ф-цию, т.е. операция диф-я ф-ции не выводит нас из класса элемент. ф-ций.

Установленная таблица производных с правилами дифференцирования ф-ций, а также правилом диф. слож. и обр. ф-ции составляют вычислительный аппарат той части мат. анализа, которую принято называть диф. исчислением.

§11. Производные высших порядков.

В §1 мы дали понятие производной ф-ции y=f(x) на некотор. промеж-ке Х и эта производная на мн-ве х явл-ся ф-цией.

Если эта ф-ция дифференцируема на Х, то полученная производная наз. производной 2-го порядка . Аналогично получаем производную 3-го порядка и т. д. порядков в случае их существования.

Равенство (1) наз. рекуррентной формулой, т.е. возвратной. Если ф-ция имеет на мн-ве х непрерывные производные до n-го порядка включительно: n=0, 2, …, тотакую ф-цию наз. n раз непрерывно дифференцируемой.

Теорема. Для того, чтобы ф-ция была n раз непр. диф-мой на Х достаточно, чтобы на нем ф-ция имела непр. производн. порядка n.

Утверж-е теоремы следует из рекур. ф-лы (1) и условия диф. ф-ции. (см. §2).

Иногда производные высших порядков (высшего 1-го) обозначают так:

Механический смысл 2-й производной.

В §4 мы ввели мех. смысл производной 1-го порядка и показали, что если S=x(t), то .

Скорость изменения скорости, т.е. ускорение, означает механич. смысл 2-ой производной, т.е. .

Бином Ньютона.

Пусть дана целая рац. ф-ция, т.е. многочлен: который определен на мн-ве R. Положим х=0, тогда f(0)=a₀.

Продифф-ем (2) и положим х=0.

.

Родолжая процесс, на след. шаге получим ,

Ф-ла (3) строго док-ся методом матем. индукции.

Представляя получ. коэф-ты в (2), получим ф-лу: которую называют ф-лой Ньютона. Можно Получить более общ. ф-лу Тейлора.

.

Рассмотрим теперь ф-цию f(x)=(1+x)ⁿ, которая при раскрытии степени, будет многочленом n-ной степени.

Для этой ф-ции применим ф-лу (4), для чего посчитаем все коэф-ты а_n.

Подставим полученные производные в ф-лу (4), получим

Последнее равенство наз. форм. бинома Ньютона. В нем справедливо св-во – коэф-ты равноуд-е от концов в разложении бинома (1+х)ⁿ по степеням равны. Эти коэф-ты наз. биноминальными коэф-тами и обозначают:

(це из эн по ка) и наз. сочетаемом из n по k. Ф-ла вычисл-я сочетаний выведена в комбинаторике и совпадает с теми выведенными коэф-ми.

.

Коэф-т Сⁿ_k можно преобразовать и записать в след. виде:

Производные n-го порядка и их свойства

Для производных n-го пор-ка справедливы след-е св-ва:

1. Исп-я формулу (1): методом матем. инд. легко получить производную n-го поряд. от суммы конечного числа n рац. диф-х ф-ций:

Для док-ва дост-но взять сумму 2х ф-ций и получить

В силу произвольности k получаем утверждение св-ва.

2. Постоян. множ-ль можно выносить за знак производной n-го порядка, т.е. справедливо рав-во: (самост.)

3. Если даны 2 ф-ции u(x) и v(x) u – производные n-го порядка включит-но, то производная призвед-я n-го порядка вычесляется по формуле.

где коэф-ты совпадают с коэф-ми бинома Ньютона. Ф-ла (5) наз. ф-лой Лейбница для n-ой производной от произведения.

.