§19. Направления выпуклотости и вогнутости кривой и точки перегиба.

Пусть задана ф-ция y=f(x) на некотор. пром-ке Х и в некотор. точке х₀ имеет конечную производную : . ЭТО значит, что касательная проведенная к графику y=f(x) в т. , не паралельно оси ОУ.

Опр. кривая y=f(x) в т. М наз. выпуклотой (вогнутой), если в некотор. окр-ти этой точки она лежит ниже (выше) касательной.

Точка наз. точкой перегиба, если кривая переходит в точке М с одной стороны касат. на другую, т.е. если в некотор. окр-ти т. М все точки кривой с абсциссами x<x_0­ лежат по одну сторону от касательной, а все точки с абсциссами x>x_0­­ по другую сторону. Кроме того, если при х=х_0­ ф-ция f(x) имеет с обоих сторон бесконеч. произ-ную одного и того же знака, то т. М также наз. точкой прегиба кривой y=f(x).

Сформулируем условия существования точек перегиба и опр. напр-я выпуклости и вогнутости ф-ции. Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на отр. [a;в] и внутри него имеет непрерывную 2-ую производную. И пусть в некотор. внутр. т. х₀: - существует. след-но, в т. х₀ к графику ф-ции можно провести касат., ур. которой имеет вид: , где У – ордината касательной, а у₀ – ордината кривой y=f(x). Рассмотрим разность ординат:

.

По условию ф-ция f(x) непрерывна на отр. [a;в] и внутри него диф-ма, поэтому для неё можно применить т. Лагранжа.

, где т. с1- лежит мкжду х и х₀ и х- явл-ся внутр. точками отр. [a;в]. След-но .

По условию ф-ция также непрерывна и диф-ма внутри отрезка [a;в], поэтому можно применить т. Лагранжа д/ф-ции , тогда получим: , где т. с лежит м/д с₁ и х₀.

По построению т. с₁ и х лежат по одну сторону от т. х₀

Поэтому произведение . След-но: r по знаку соответствует , т.е. либо оба положит, либо оба отрицат., либо оба =0.

Поэтому возможны следующ. случаи:

1) , тогда для , близких к х₀, в силу непрерывности ф-ции в точке х₀ будет .

При стремлении х к х₀ справа или слева, т.к. , что . Отсюда следует, что r>0, а это значит, что у>У, т.е. кривая в окр. т. х₀ расоложена выше касат., а след-но, вогнута.

2) тогда рассуждая аналогично получаем, что вьлизи т. х₀ , а след. , т.е. r<0 и у<У, а след. кривая расположена ниже касат., поэтому в окр. т. х₀ получаем выпуклость.

3) , тогда получаем, если слева и справа от т. х₀ имеет разные знаки, то кривая при переходе ч/з т. х₀ меняет напр-е вогнутости и выпуклотости, т.к. r- разность – меняет свой знак при переходе через т. х₀. Другими словами т. отделяет участок, где кривая вогнута от участка, где кривая выпукла. Следует заметить, что в т. х₀ может быть перегиб и в том случае, когда или не существует. Для этого достаточно, чтобы меняла знак при переходе через т. х₀.

Таким образом, необходимым условием существования точек перегиба явл. равенство 0, ∞ или второй производной в некотор. точке х₀.

Точки, в котор. втор. пр. =0 либо ∞, либо несущ., но принадлежащ. обл. опред. ф-ции наз. подозрит. точками на прегиб. или критич. точками для прегиба.

Дост. условием для существования точек перегиба явл. изменение знака второй производной ф-ции при переходе ч/з критич. точку. Рез-ты иссл-я рекомендую вносить в таблицу по аналогии с иссл-ем на экстремум ф-ции.

Покажем на примере:

Иссл-ть ф-цию

Д(у)=R.

.

Тогда , если х=2 или х=4 (по т.Виета). Составим таблицу.

х	(-∞;2)	2	(2;4)	4	(4;+∞)
у\	+	0	-	0	+
у		т. перегиба=24