§12. Дифференциалы высшего порядка.

В §2 мы ввели понятие дифференциала ф-ции y=f(x) на пр-ке Х и получили формулу: Справа имеем ф-цию переменной х, где и след-но от этой ф-ции можно взять дифференциал, считая dx=const, т.к. х – независеммая переменная. Если можно продифференцировать эту ф-цию, то дифференциал от неё назовем диф. 2-го порядка и обозначим

Если полученная ф-ция d²y диф-ма, то можно определить диф-л от неё, который назовем 3-го порядка и запишем

Продолжая этот процесс можно ввести понятие диф. n-го порядка рекуррентно, т.е. .

Таким образом, методом матем. инд-и получаем правило вычисления дифференциала n-го порядка :

Формула (2) верна, если х явл. независимой переменной, если же х явл. промежуточной ф-цией, т.е. зависимой переменной, то (2) не верна, т.к. dx – не явл. const. Если и т.д. Тогда дифференциал 2-го порядка будем вычислять кА дифференциал от произведения: . Таким образом, форма записи диф-ла порядка выше 1-го – не инвариантна.

§13. Приложения дифференциала при приблеженных вычислениях.

В §2 мы ввели понятие дифференциала и показали, что с точностью до беск. малой более высок. порядка, чем

тогда .

Получили ф-лу приближенного вычисления знач-и ф-ции f(x) в малой окр-ти т. х₀, где - некотор. приращение аргумента. Чем меньше, тем ф-ла точнее.

§15. Раскрытие неопредел-тей по пр.Лопиталя.

Теорема 1(пр. Лапиталя раскрытие неопределенностей вида ):пусть даны 2 ф-ции f(x) и g(x) на инт. (а;в). Если выполняются след. условия:

Д-во: доопределим ф-ции f(x) и g(x) в т. а, для чего положим:

Тогда ф-ции f(x) и g(x) будут непрерывны на промежутке [a;в). Причем они будут и непрерывны на нем. Выберем произвольное знач-е и рассм-м ф-ции f(x) и g(x) на отрезке [a;x]. Они удовлетворяют всем условиям т. Кошипоэтому на этом отрезке некот. т. C: a<c<x, для котор. справедливо рав –во Каши: или .

Перейдем к пределу в этом рав-ве при , тогда очевидно и получаем Ч.т.д.

Замечание: аналогично можно док-ть случай, когда слева или когда , где а- любая внутр. точка интервала (a;в).

Замечание 1. Если, применяя т. получили опять неопр-ть , то можно повторить указанную теорему. Раскрытие неопределенности по т.1 вида принято наз. правилом Лапиталя.

Замечание 2. После каждого применения правила Лопиталя необходимо произвести все упрощения, сокращения и только после этого применять повторно правило Лопиталя.

Приер.

Замечание 3. След. заметить, что правило Лопиталя не всегда принимается при раскрытии неопределенности , т.к. из существования предела отношения 2-х беск. малых следует предел отношения производных числстеля и знаменателя.

При многократном использовании правила Лопиталя, необходимо непоср. подстановкой проверить наличие неопр., т.к. можно получить ошибочный результат.

Теорема 2(следствие т.1): пусть на интервале (a;∞) определены ф. f(x) и g(x), удовлетв. след. условием: 1.

2. на интер. (a;∞), причем .

3.

Тогда .

Для док-ва этой теоремы достаточно ввести замену, положив , тогда при . В силу диф-я слож. ф-ции, получаем

Ч.т.д.

Таким обр., правило Лопиталя при раскрытии неопр. , применется, когда аргумент стремится к конечному или беск. пределу. Аналогично, можно было показать, когда . Таким обр., при отношении 2х беск. малых легко используя диф. исчисл. прийти к цели.

Перейдем теперь к раскрытию неопр. вида , т.е. к отношению двух беск. больших ф-ций. Оказывается и в этом случае можно применять правило Лопиталя.

Т.3: пусть на некотор. инт. (a;в) пред. ф. f(x) и g(x), удовлет. след. условиям:

1.

2. на инт. (a;в), причем .

3.

Тогда

Д-во(самост.)

Все замечания, сформулир. к т.1 справедливы и в этом случае.

Все остальные виды неопр-тей сводятся к двум выше изученным путем алгебр. преобр-ний и и применены осн. логар. тождества.