44. Локальная формула Тейлора. Единственность многочлена Тейлора.

45. Представление остаточного члена в формуле Тейлора в формах Лагранжа и Коши.

Теор. Пусть выполняется несколько условий: 1) f(x) непрерывна на [ ] вместе со своим n-производным f(x)∈ [ ]; 2) На интервале ( ; 3) непрерывна на [ ] и имеет на этом отрезке не нулевую производную. Если всё выполнено, то ∈ [ , что остаточный член формулы Тейлора ………….. .

Док-во: На отрезке [ рассмотрим функцию: F(t)=f(t)- . Функции F(t) и удоволетворяют теореме о конечных приращениях Коши, тогда . . По формуле конечных приращений Коши, ∈ [ : . . . .

Следствие 1. Пусть функция f имеет в некоторой окрестности т. n+1-производную, тогда остаточный член формулы Тейлора для фун. f(x) может быть записан в форме Лагранжа: , т.е. c – это некоторая точка между ( ).

Док-во: [ и [ , на которых выполняются все условия теор. Для , тогда , , .

Формула Тейлора с остаточным членом формулы Лагранжа имеет вид: . В частности при n=1 мы получим формулу конечных приращений.

Следствие 2. Если f(x) имеет в U(x) n+1-производную, то остаточный член формулы Тейлора можно записать в форме Коши: (1)

Док-во: Используем теор. Взяв в качестве . Затем полагая, что c= найдём значение . Подставим эти значения в предыдущую формулу (1).

46. Разложение по ф-ле Маклорона важн элемент ф-ий

• f(x)= ex эта ф-ция непрерывно-дифференцируема любое число раз в любой точке

│x=0 = │x=0 = 1

ex=1+x+x2/2!+…+xn/n!+o(xn)

• f(x)= sinx эта ф-ция непрерывно-дифференцируема любое число раз в любой точке

│x=0 = sin(x+ )│x=0 = sin( )=

sinx=x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)n*(x2n+1/(2n+1)!)+o(x2n+1)

• f(x)= сosx эта ф-ция непрерывно-дифференцируема бесконечное число раз

│x=0 = cos (x+ )│x=0 = cos ( )=

cosx=1-x2/2!+x2/4!-…+(-1)n*(x2n/(2n)!)+o(x2n)

• f(x)= эта ф-ция непрерывно-дифференцируема бесконечное число раз на (R\{1})

│x=0 = │x=0 =

1/(1-x)=1+x+…+xn+o(xn)

• f(x)= эта ф-ция непрерывно-дифференцируема бесконечное число раз на (R\{-1})

│x=0 =

1/(1+x)=1-x+…+(-1)nxn+o(xn)

• f(x)= эта ф-ция непрерывно-дифференцируема бесконечное число раз на (-1; + ∞)

│x=0 = │x=0 =

ln(1+x)=x-x2/2+…+(-1)n-1*(xn/n)+o(xn)

• f(x)= эта ф-ция непрерывно-дифференцируема бесконечное число раз на (-∞;-1)

ln(1-x)=-x-x2/2-…-xn/n+o(xn)

• f(x)= эта ф-ция непрерывно-дифференцируема бесконечное число раз на (-1; + ∞)

(1+x)α=1+αx+α(α-1)x2/2!+… α(α-1)…( α-n+1)xn/n!+o(xn)

shx=x+x3/3!+x5/5!+…+ (x2n+1/(2n+1)!)+o(x2n+3)

chx=1+x2/2!+x4/4!+…+ (x2n/(2n)!)+o(x2n+2)

• arctgx=x-x3/3+x5/5-…+(-1)n(x2n+1/(2n+1))+o(x2n+3)

47. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки.

Многочлен Тейлора порядка n наилучшим образом среди всех многочленов приближает функцию f в бесконечно малой окрестности точки Никакой другой многочлен в степени меньшей или равной n не может приближать данную функцию с точностью до при . Пусть а задана на [a, b]. Требуется по заданному ε>0 найти такой многочлен P(x), который приближает функцию f на отрезке [a, b] с точностью ε, т.е. на [a, b]. Если f непрерывна и имеет достаточно много производных на отрезке [a, b], то можно попытаться выбрать в качестве P(x) полином Тейлора. Степень n такого полинома подбирают из оценки при .

Теор. Основание натурального логарифма e является иррациональным числом (e ∉Q).

Док-во: ОП: Пусть e= ; m, n ∈ N. При таком n справедлива формула: . (*) . Т.к. 2<e<3 => e∉Z => n≠1 => . Докажем обе части равенства (*) на n!. Слева получим целое число. Справа получим < , т.е. в правой части получим не целое число. Получено противоречие, что доказывает теорему.

Пусть бесконечно дифф-ма в окрестности нуля и пусть известно расположение её производной: + . Покажем, как из этого разложения получить разложение для самой функции f. Из единственности Тэйлоровского разложения коэффициент имеет следующий вид: , .

+

+

48.

Признаки постоянства функции.

Теорема. Если F'(х) = 0 на некотором промежутке I, то функция F — постоянная на этом промежутке.

Доказательство. Зафиксируем некоторое x₀ из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число c, заключенное между х и x₀, что

F(x)-F(x₀) = F'(c)(x-x₀).

По условию F’(с) = 0, так как с∈1, следовательно,

F(x)-F(x₀) = 0.

Итак, для всех х из промежутка I

F(x) = F(x₀),

т е. функция F сохраняет постоянное значение.

Признак монотонности функции

Теорема. (Достаточное условие возрастания (убывания) функции на интервале Х).

Пусть функция f(x):

1) определена на интервале Х;

2) имеет на Х конечную производную f '(x) ;

3) f '(x)>0 ( f '(x)<0) на Х.

Тогда f(x) является возрастающей (убывающей) на интервале Х.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда f '(x)<0 на Х. Возьмем любые два значения х₁ и х₂ из Х такие, что х₁ < х₂, тогда на сегменте [х₁, х₂] f(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, поэтому справедливо равенство f(x₂)–f(x₁)=f’(ξ)(x₂–x₁) где ξ - некоторая точка из (х₁, х₂): х₁<ξ< х₂. Так как х2> х1, и f’(ξ)<0, то f(x₂)<f(x₁), что означает убывание функции на множестве Х.

Для случаев f '(x) >0 на Х доказательство проводится аналогично.

Замечание 1. Положительность (отрицательность) производной f '(x) на Х не является необходимым условием возрастания (убывания) функции f(x), т.е. если на некотором участке функция возрастает (убывает), то отсюда не следует, вообще говоря, что на этом участке производная этой функции всюду положительна (отрицательна).

Например, для возрастающей на всей числовой оси функции производная в точке х=0 обращается в 0. (Рис. 1)

Замечание. Геометрическая интерпретация теоремы: поскольку производная функции представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции, то знак производной показывает острый (если f '(x) >0) или тупой (если f '(x) <0) угол с положительным направлением оси ОХ составляет касательная к f(x). В соответствии с этим, кривая идет вверх (функция f(x) возрастает) или вниз (функция f(x) убывает). В отдельных точках при этом касательная может быть параллельной оси ОХ, что соответствует обращению в нуль производной функции f(x) (рис.2,3)

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

49

Локальный экстремум.

f : x → ℝ

x₀ ∈ X – точка максимума f(x)≤f(x₀) ∀x∊X

x₀ ∈ X – точка минимума f(x)≥f(x₀) ∀x∊X

Точки максимума и минимума – точки экстремума

x₀ – локальный максимум, если существует такая окрестность x₀, где она является точкой максимума : ∃ U(x₀) f(x)≤f(x₀) ∀ x∊U(x₀)

x₀ – локальный максимум, если ∃ U(x₀) f(x)≥f(x₀) ∀ x∊U(x₀)

Необходимое условие локального экстремума

Для того чтобы точка x₀ – точка экстремума функции f : U(x₀) → ℝ необходимо выполнение 1 из 2 условий:

1) f не дифференцирована в x₀

2) f’(x₀)=0

Такие точки будем называть критическими ( или точки подозрительные на экстремум)

Достаточное условие локального экстремума

Пусть функция f определена в окрестности точки x₀, например на этой окрестности и дифференцируема на проколотой окрестности. И пусть x₀ – критическая точка функции.

f : U(x₀) → ℝ, f ∊C(U(x₀)), f∊D(U(x₀))

Ů₊(x₀)={ x | x∊Ů(x₀), x>x₀ }

Ů_-(x₀)={ x | x∊Ů(x₀), x<x₀ }

Если производная имеет разные знаки на левосторонней и правосторонней окрестности, то точка x₀ – точка локального экстремума и наоборот.

точка строгого максимума:

f’(Ů_-(x₀))≥0

f’(Ů₊(x₀))≤0

точка строгого минимума:

f’(Ů_-(x₀))≤0

f’(Ů₊(x₀))≥0

Доказательство.

Рассмотрим первый случай f’(x)>0 для x<x₀ и f’(x)<0 для x>x₀, где x принадлежит окрестности точки x₀, указанной в условии теоремы. По теореме Лагранжа

∆f = f (x) – f (x₀) = f’(ξ) (x – x₀),

где ξ лежит на интервале с концами x₀ и x.

Если x<x₀, то x – x₀ < 0 и f’(ξ) > 0, так как x<ξ<x₀. Если x>x₀, то x – x₀ > 0 и f’(ξ)<0, так как в этом случае x₀<ξ<x. Таким образом, всегда ∆f<0, т.е. в рассмотренном случае точка x₀ является точкой строгого максимума. Аналогично рассматривается второй случай.

Глобальный экстремум

1) f∊C([a; b]) на отрезке

по точке Вейерштрасса ∃ max (f), ∃ min (f)

Алгоритм: 1) Находим критические точки x₁, x₂, x₃…x_n; 2) находим f(x₁), f(x₂), f(x₃)…f(x_n) и f(a), f(b); 3) находим max и min;

2) f∊C((a; b)) на интервале

Алгоритм: 1) Находим критические точки x₁, x₂, x₃…x_n; 2) находим f(x₁), f(x₂), f(x₃)…f(x_n) и f(a+0), f(b–0) (пределы); 3) f(x_i)= max(f), f(x_i)=min(f); f(a+0)=∄max(f), f(a+0)=∄min(f), f(b–0)=∄max(f), f(b–0)=∄min(f);