19. Односторонние пределы. Эквивалентность определений предела Гейне и Коши.

Df Левой окрестностью (полуокрестностью) точки а называется любой полуинтервал U^-(a) = (a-ε;a]

Правой окрестностью (полуокрестностью) наз U⁺(a) = [a; a+ε)

Если в определении предела ф-ции заменить проколотую окрестность односторонними проколотыми окрестностями, то мы придем к односторонним пределам ф-ций

Df , a – предельная точка Х

Пределом слева (левосторонним пределом) ф-ции f(x) в точке а наз

Предалом справа (правосторонним пределом) ф-ции f(x) в точке а наз

Таким образом

Th Пусть , а – внутренняя точка Х, тогда

Th Определения предела ф-ции по Гейне и по Коши эквивалентны

◄Пусть по Гейне. Предположим, что В не является пределом f(x)по Коши, тогда

20. Общие свойства предела функции. Арифметические операции и предельный пе-реход. Предельный переход и неравенства.

Th

1. Если и в некоторой , то

2. Если , то он единственный

3. Если f(x) имеет конечный предел при , тона ограничена в некоторой окрестности а.

Th Пусть , , тогда

1. 

2. 

3. 

4. 

◄ Возьмем , тогда ,

По свойствам предела последовательности:

1,2)

3)

4) ►

Th

1. Если , то

2. Если , то B C

Th (о сжатой переменной)

Пусть в некоторой и пусть

Тогда

◄

Т.к. начиная с некоторого n, то с этого же номера

По Th о сжатой переменной для посл-тей

►

21. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x₀, если = 0.

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если = 0 или = 0.

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x₀, если = .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если = или = .

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

• Сумма б.м.ф. и константы – константа.

• Сумма 2-ух б.м.ф. — б.м.ф.

• Произведение б.м.ф. на ограниченную функцию — б.м.ф.

• Отношение б.м.ф. на функцию, предел которой отличен от нуля — б.м.ф.

• Если f(x) – б.м.ф, то 1/f(x) – б.б.ф.

• Если f(x) – б.б.ф, то 1/f(x) – б.м.ф.

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций с док-вом.

Сумма б.м.ф. и константы – константа.

◄ a(x) – б.м.ф, b – постоянное число. Пусть f(x) = a(x) + b, тогда |f(x) - b| = |a|. Т.к. a(x) – б.м, то ∀ ԑ>0 Ǝ δєU(a) : |a(x)|< ԑ => |f(x) - b| < ԑ.Т.к. = b, то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначим f(x) – b= α, то |α(x)|<ε, а это значит, что a – бесконечно малая.►

Сумма 2-ух б.м.ф. — б.м.ф.

◄ зафиксируем произвольное число ε>0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ₁>0, что при |x – a|<δ₁ имеем |α(x)|< ε/2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ₂>0, что при |x – a|<δ₂ имеем | β(x)|<ε/2.

Возьмем δ=min{ δ₁, δ₂}.Тогда в окрестности точки a радиуса δбудет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/2 и | β(x)|< ε/2.Следовательно, в этой окрестности будет

(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,

т.е. |f(x)|<ε, что и требовалось доказать.►

Произведение б.м.ф. на ограниченную функцию — б.м.ф.

◄ Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точкиa|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично. ►

Отношение б.м.ф. на функцию, предел которой отличен от нуля — б.м.ф.

◄ Пусть = 0, = b ≠ 0. Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь = a(x) * есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.►

Если f(x) – б.б.ф, то 1/f(x) – б.м.ф.

◄ Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x, для которых |x – a|<δ, выполняется неравенство | |< ε , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x→a, то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ, так |f(x)|>1/ ε. Но тогда для тех же x | |< ε. ►

22) (Замечательные пределы)

1)Lim(1+1/n)ⁿ=e 2) lim( n^b/aⁿ)=0 ,|a|>1, b из R

3)lim(корень n степени из n) = 1, n->беск. ВЕЗДЕ

4)lim(корень n степени из а)=1

5)lim(log_an/n^b)=0 b>0, a>0, a не равно 1.

6)lim(aⁿ/n!)=0 a из R с волной.

7)lim( (ln(1+x))/x)=1 ,x->0

8)lim((e^x-1)/x)=1, x->0

9)lim((1+x)^b-1)/x)=b, x->0

23. Теорема о пределе композиции. Приложение к нахождению некоторых пределов.

\

24. Сравнение асимптотического поведения функций.

25. Пределы монотонных функций. Верхний и нижний пределы функции.

Th. О пределе монотонной функции

Пусть f : X->R монотонная на мн-ве R ф-ция и пусть а=infX, b=supX-предельные точки мн-ва Х,тогда в R~ сущ. односторонние пределы:

Lim(a+0)=Lim f(x) и Lim(b-0)=Lim f(x).

Если при этом f(x) ограничена в U(a),то соотв. предел конечен.

Док-во:

Рассмотрим f возрост.

X=[a,b]

Обозн В=supf(x),BєR.

Если ф-ция огранич. Сверху,то В-конечное число,а если нет,то В-бесконечность.

Из ОПР SUP => sup f(x) U-(B) сущ.X0єX, X0<b:

f(X0)єU-(B),

В силу возрастания ф-ции имеем:

Vxє(X0;b): f(X0)<f(x) => f(x)єU-(B),

таким образом

VU-(B)сущ.Uпрокол.-(B)=( X0;b)|VXєUпр.-(B):

f(X) єU-(B) => Lim f(x)=B.

DF Пусть а или а = - предельная точка мн-ва Х, тогда верхним или нижним пределом функции f:X→ , при х→а, х Х называются след пределы

lim(X_n) (верхний) =lim sup{x_n , x_n+1, …}=lim sup{x_k} , k>=n, n->+

lim(X_n) (нижний)= lim inf{x_n , x_n+1, …}=lim inf{x_k} , k>=n, n->+