32) Равномерная непрерывность. Теорема кантора

Равноме́рная непреры́вность в математическом и функциональном анализе — это свойство функции быть одинаково непрерывной во всех точках области определения

Числовая функция вещественного переменного равномерно непрерывна, если

Здесь важно, что выбор δ зависит только от величины ε.

Теорема Кантора

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a,b]. Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство.

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Надо доказать:

Противоположное утверждение:

Построение последовательностей.

Возьмем любую последовательность dn, которая монотонно убывает до нуля, т.е.

d1>d2>d3>…dn®0, n®Ґ

Тогда для каждого dn Перебирая все dn мы получим две последовательности {xn} и

ыделение сходящихся подпоследовательностей. Рассмотрим последовательность {xn}. Она ограничена, т.к. a£ xn£ b. По лемме Больцано-Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность т.е

Заметим, что cО[a,b] в силу замкнутости [a,b]. А что можно сказать о подпоследовательности Т.к. ,то Но так как , а то по теореме “о двух милиционерах” отсюда следует, что также т.е. подпоследовательность сходится к тому же пределу c, что и

Рассмотрим теперь последний квантор

Переходя к пределу k®Ґ и учитывая непрерывность функции y=|x|, получим:

В силу непрерывности f(x) так что получаем, что |f(c)-f(c)|³ e т.е. получаем, что e£ 0. Это противоречит квантору

33) Непрерывность элементарных функций

Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.

Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций

(с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций. Множество основных элементарных функций включает в себя:

Алгебраические многочлены ;

Рациональные дроби ;

Степенные функции ;

Показательные функции ;

Логарифмические функции ;

Тригонометрические функции ;

Обратные тригонометрические функции ;

Гиперболические функции ;

Обратные гиперболические функции .

34. Дифференцируемые функции. Определение производной функции в точке. Условия дифференцируемости функции в точке.

df1:f наз.дифференцируемой в т.х если А€R такое, что приращение в-ии f в т.х можно представить в виде f(x+h)-f(x)=Ah+o(h) приh->o (1). f(x+h)-f(x)=Ah+α(h)-б.м. при х->0

тогда ф-ия наз. дифф. на мн-ве, если она дифф. В каждой точке этого мн-ва.

А зависит от х, т.е. А=А(х)ю Δу=АΔх=о(Δх) прих->0

df2:Пусть ф-ия y=f(x) дифф. в т. , тогда дифференциалом ф-ии в т. наз.входящее в ра-во(1) линейная однородная ф-ия А(h) от приращение h. Для диффиринциала используют следующее обозначение Ah=AΔx=dy=df=df(x) Таким образом: dy=Ah=AΔx

Замечание: если в ра-ве(1) const a!=0, то дифф. в т.х можно ещё определить как главную линейную часть приращения ф-ии f в т.х.

df3:Производной ф-ии f(x) в точке х наз. Конечный предел отношения приращения фун-ии к приращению аргумента, когда последе стремиться к 0. Обозначается .

(2)

Для обозначения производной используют и другие символы :

Замечание: введённую определением df3 производную наз.также конечной производной, желая подчеркнуть, что рассматриваемый предел должен быть конечным.

Th1: Дифф-ость ф-ии f в т.х равносильно у ф-ии f производной в т. х

◄=> Пусть f дифф. в т. х тогда вып. Соотношение(1)

Соотношение(1)

F(x+h)-f(x)=Ah+o(h) при h->0

Счетая приращение h не нулевым, разделим на h и получим:

---это пиздец шпора -_\\----

При h->0

f(x+h)-f(x)=f(x)h+o(h) при h->0

=> f дифф-ма причем ►

Следствие1: т.к. мы доказали что в представлении 1 const , то для дифф-ла ф-ии в т.х .

Следствие2: рассмотрим случай

Следствие3: последнее ра-во объясняет принятое обозначение для производной , т.е. его следует рассматривать не как единый символ, а как отношение дифф-ов.

Th2:Если ф-ия дифф-ма в точке, то она непрерывна в этой точке.

◄пусть f дифф.в т х

Запишем условие (1)

=>f(x)непр.в т.х► Замечание: из доказанной Th следует, что непрерывность явл. Необходимым условием дифф. ф-ии в т., но она не явл.достаточным условием.

35)Геометр смысл произвожной.

Если y=f(x) диффу-ема в т. x₀, то к графику ф-ии в т.M₀(x₀,y₀) можно провести касат, угловой коэффициент будет = значению произв-ной в т.x₀.(т.е.=tgα наклона касат) y-y₀=y’(x₀)(x- x₀)-ур-ние касател к кривой в т.M₀. y-y₀=(1/y’(x₀))*(x- x₀)-ур-ние нормали к кривой в т.M₀. Геометр смысл дифференциала. Приращение ординаты касательной соотв приращениюна dx. Чем меньшн dx, тем точнее приближ рав-во ∆y≈dy.