3. Математическое моделирование (м. М.). Математическое подобие. Достоинства и недостатки метода.

М. М. – изучение св-в объекта на математич. модели. Математич. модель – приближённое описание какой-либо модели или объекта внешнего мира, выраженное с помощью математич. символики.

Цель м. м. - определение оптимальных условий протекания проц., управление им на основе матем. модели и перенос рез-та на объект. Метод базируется на матем. подобии.

Пример матем. подобия: рассм. физич. явления и их матем. описание:

1 Перенос тепла (з-н Фурье):

где q – тепловой поток; – коэф. теплопроводности; – градиент t⁰.

2 Перенос вещества (1-ый з-н Фика):

где D – коэф. диффузии; j – поток вещества; - градиент концентраций.

3 Перенос электричества (з-н Ома):

где «-» указывает, что поток направлен из областей с большими значениями параметров в обл., где этот параметр имеет меньшее значение.

В данных законах переноса наблюдается подобие математ. описаний различных физ. явлений. Поэтому любой из перечисленных процессов может быть описан в рамках единой матем. модели. Каждый из этих законов можно интерпретировать, с помощью пересчётных коэф-ов. Например, на электрич. модели (з-н Ома) – она самая простая и применяется для нескольких оригиналов с разной физ. природой, т е является универсальной.

Достоинства м. м.: 1. более универсальный метод, чем физич-ое моделирование. Позволяет осуществлять исследования целого класса задач, имеющих математ. описание; 2. используются эффективные средства исследования объектов, быстродействующей вычислительной техникой (компьютеры); 3. экономичнее метода физического моделирования по стоимости и затратам времени; 4. позволяет изменять параметры исследуемого объекта.

Недостатки: 1. принимаемые допущения при м. м. сильно искажают сущность процесса, что значительно снижает точность результатов решения задач; 2. не удается визуально наблюдать за ходом процесса.

4. Классификация математических моделей (м. М.). Компьютерное моделирование.

Если основные переменные процесса изменяются во времени и пространстве, то модели, описывающие эти процессы, называют моделями с распределёнными параметрами. Эти модели записывают в виде ДУ частных производных.

Если переменная процесса изменяется только во времени, то м. м., кот. описывают такие процессы, наз. моделями с сосредоточенными параметрами. Они записываются в виде обычных ДУ.

• По характеру режима процесса:

1. Статическая (включает описание связей между основными переменными процесса в установившихся режимах; в равновесном состоянии - без изменений во времени);

2. Динамические (включает описание связей между переменными процесса во времени при переходе от 1-го режима к другому);

Совокупность 1 и 2 с определенными ограничениями и дополнительными условиями наз. полной м. м.

• По природе процесса, кот. протекает в моделируемых объектах:

1. Детерминированная модель – модель, описывающая процесс, в кот. значение выходной величины определяется значением входной величины.

2. Вероятностная (стохастическая) - модель, описывающая процесс, в кот. изменение выходных величин происходит беспорядочно и часто дискретно, при этом значение выходной величины не находится в однозначном соответствии с входной величиной.

• По функциональному назначению:

1. Модель прогноза (расчётная модель) – назначение: дать прогноз о поведении системы во времени и в простр-ве на основе начальных сведений о состоянии системы. Данная модель описывается алгебраическими, диф., интегральными уравнениями и неравенствами (модели распределения тепла, хим. кинетики, электрич. поля).

2. Оптимизационная модель – используется как на уровне проектирования, так и в задачах оптимального управления различными технолог. системами;

3. Кибернетические системы – использ. для анализа конфликтных ситуаций. При построении таких моделей прибегают к упрощениям , цель кот. – отобразить не весь объект, а с мах полнотой отобразить некоторый его фрагмент. Задача – путем упрощений с помощью допущений, выделить важные для исследования свойства;

4. Экспертные системы – программные ср-ва, выполняющие некоторые аналитич. функции. В зависимости от уровня и способа решения задач, различают экспертные системы основанные на: правилах, принципах, примерах, имитационном моделировании.

Компьютерное моделирование (к. м. ) – математич. моделирование с использованием средств вычислительной техники.

Системный подход в рамках к. м. предполагает выполнение след. действий: 1. Определение цели моделирования; 2. Разработка концептуальной модели; 3. Формализация модели (запись в виде уравнений); 4. Программная реализация модели; 5. Планирование модельных экспериментов; 6. Реализация планов эксперимента; 7. Анализ и интерпритация результатов моделирования.

Содержание 1-ых двух этапов почти не зависит от математ. метода, положенного в основу моделирования. А реализация остальных 5-ти этапов существенно отличается, в зависимости от подхода к построению модели. Эти подходы называют:

1. Аналитическое моделир. – предполагает исследование объекта с использованием матем. модели в виде диф., алгебраич., интегральных и др. уравнений, связывающих между собой выходные и входные переменные, дополненные системой ограничений. При этом предполагается наличие однозначной вычислительной процедуры получения точного решения уравнений.

2. Имитационное моделир. – предполагает, что используемая математич. модель воспроизводит алгоритм функционирования системы во времени при различных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды (подбор военных действий).