50. Экспериментальный поиск. Метод Гаусса-Зайделя.

Во-вторых, эксперимент почте всегда дороже, чем единичный расчет целевой функции. Расчетная задача, где приходится 1000 раз считать F, может оказаться не очень большой по объему. Эксперимент же по отыскиванию оптимума, требующий 100 опытов, – уже очень велик.

В-третьих, при экспериментальной оптимизации характер зависимости F от факторов, как правило, бывает проще, чем при расчетной. Это объясняется тем, что ошибки опытов «сглаживают рельеф» целевой функции. Таким образом, в эксперименте обычно можно работать с простейшими математическими моделями – чаще всего с многочленами 1-го или 2-го порядков.

При оптимизации методом Гаусса — Зейделя поиск оптимума исследуемого процесса осуществляется поочередным варьированием каждого входного параметра до дости­жения частного оптимума выходного параметра. Вначале достигает­ся оптимум по направлению одной из координатных осей при фик­сированных значениях входных параметров по другим координат­ным осям. Затем, зафиксировав найденное значение выходного параметра, переходят к варьированию другого входного параметра, где вновь достигается частное значение оптимума и т. д. На рис. 71 изображены линии равного выхода целевой функции при двух вход­ных параметрах (л^и х₂) и общие представления о действии метода Гаусса — Зейделя.

Рисунок – Поиск оптимума методом Гаусса-Зайделя

Это наиболее простой метод оптимизации, который широко ис­пользуется в практике исследований в химии и химической техно­логии. Следует, однако, отметить, что указанным способом редко попадают в область оптимума. Чаще всего ограничиваются одно­кратным варьированием по каждой из координатных осей (точка В, рис. 71), что главным образом связано с основным недостатком ме­тода — длительностью продвижения в область оптимума.

52. Симплекс - решетчатые планы Шеффе.

Из числа наиболее опробованных планов можно указать два типа симметричных планов: Шеффе и Дрейпера-Лоуренса. Первые для двух- и трехкомпонентных смесей при одинаковом числе параллельных наблюдений в каждой точке плана в случае моделей в виде третьей степени весьма удачны. Они минимизируют случайные ошибки предсказания этими моделями поверхности отклика. Однако точность моделей ухудшается при использовании планов Шеффе выше третьего порядка.

Планы на симплексных решетках, т.е. планы Шеффе, не обладают обычно свойством композиционности, т.е. для перехода к построению более сложной модели исследователю приходится ставить новые опыты, не полностью используя информацию, полученную из предыдущих опытов. Чтобы уменьшить подобные потери, либо выбирают координаты для контрольных точек в точках плана модели более высокого порядка, либо сразу строят план модели более высокого порядка (n₂>n₁). В многокомпонентных сплавах приходится строить полиномы сравнительно высоких степеней. Условие нормировки облегчает эту задачу, позволяет вместо полных многочленов вида

y=b₀+

использовать либо канонические полиномы Шеффе:

либо однородные полиномы:

Число экспериментальных точек симплексного плана зависят от числа компонентов изучаемой смеси к и выбранной степени полинома

,

где к – число компонентов в смеси, р – степень полинома

Например для получения модели четвертой степени (р=4) для системы из пяти компонентов (к=5) необходимо провести следующее число опытов (N)

Использование приведенных полиномов позволяетт уменьшить число опытов для аппроксимации свойств и оценки адекватности модели полиномами одного и того же порядка.

Виды моделей и расчет коэффициентов. Коэффициенты аппроксимирующих полиномов представляют собой комбинации значений изучаемого свойства, полученных в узлах симплексных решеток для S-компонентных смесей n-го порядка.

Например, в модели второго порядка для трехкомпонентной смеси:

М одель второго порядка для S-компонентной смеси:

Чтобы воспользоваться формулами вычисления коэффициентов моделей следует оговорить расположение экспериментальных точек, значения показателя в которых подставляются в эти формулы.

В каждой узловой точке симплекса третьего порядка содержится по три части компонентов.

В первой точке смесь состоит из трех частей третьего компонента; в шестой точке к одной части первого компонента добавлено две части второго; в восьмой – к двум частям второго добавлена одна часть третьего, а десятая точка содержит по одной части всех трех компонентов.

Рисунок 1 – Барицентрическая система Рисунок 2 – {S, n}-решетка

координат Шеффе {S, n} = {3, 3}

Чтобы ставить эксперимент на решетке трехкомпонентного симплекса четвертого порядка, следует иметь в виду, что смеси во всех узловых точках в этом случае состоят уже из четырех частей. Так, например, в четвертой точке содержится три части первого и одна часть третьего компонента и т. д.

Выделение локальных областей

Допустим, что нам предстоит оптимизировать смесь для произ­водства силикатного кирпича, состоящую из нескольких компонен­тов – извести, песка и воды. Если за основу взять симплекс третьего порядка (рисунок 2), то становится самоочевидно, что проведение экс­перимента в первой, четвертой и седьмой точках решетки практичес­ки исключается, так как смеси, содержащие только индивидуальные компоненты, для достижения цели совершенно непригодны.

В этих случаях исследования нужно проводить в локальных облас­тях факторного пространства, т. е. внутри внешнего симплекса надо вы­делять внутренний. Естественно, что две системы координат внутренне­го и внешнего симплексов должны быть согласованы между собой. Для выделения внутренних локальных областей в факторном про­странстве должны быть заданы координаты вершин многоугольни­ков, причем точки могут располагаться как угодно, в любом месте. Их положение фиксируется с помощью матриц. Элементами каждой строки являются координаты одной точки (вершины) внутреннего симплекса в единицах внешнего симплекса.

При выделении локальной области следует придерживаться основных правил:

• точка (А) может располагаться в любом месте внешнего фак­торного треугольника;

• точка (В) должна быть вершинной точкой треугольника ABC и не может располагаться ниже точки (А);

• точка (С) должна располагаться правее точки (А);

• обегание вершин в треугольнике ABC должно осуществляться по часовой стрелке: (А) => (В) => (С);

• точка (D) в четырехкомпонентном симплексе должна занимать самое верхнее положение (координата Z₄ точки D должна быть мак­симальна).

Для перевода координат относительных единиц внутреннего сим­плекса в натуральные единицы внешнего симплекса следует исполь­зовать следующие формулы:

а) для трехкомпонентного симплекса

для четырехкомпонентного симплека

53. Методы многомерного поиска. Покоординатный спуск. Методы многомерного поиска. (в случае, когда F- функция более чем одного фактора).

Рассмотрим в простейшем варианте, когда оптимизация проводится без ограничений. Ограничения вносят заметные усложнения в алгоритмы поиска, но при этом их сущность не изменяется. Изложение будем иллюстрировать случаем двух факторов. Рассматривается поиск мах.

Покоординатный спуск. Этот метод сводится к следующему.Выбираются координаты начальной точки поиска х_1u и х_2u , т. е. те значения х1 и х2 от которых мы начнем искать оптимум. Выбираются единичные приращения факторов (шаги) Н1 и Н2, а так же малые приращения факторов ε1 и ε2. Выбор всех этих величин определяется физическим смыслом задачи и той информацией о ней, которой мы располагаем заранее.

Рассчитывается значение F(х_1u ; х_2u ) в точке 1(рис 1). Далее не меняя величины х2, начинаем двигать вдоль оси х1, давая на каждом шаге этому фактору приращение Н1. На каждом шаге – в точках 2,3,4, и т. д. – проводится расчет F. Шаги продолжаются до тех пор, пока продолжается рост F . Неудачными будем считать те шаги, на которых получено меньшее значение F, чем на предыдущих

1. удачные шаги,х- неудачные шаги

П осле первого неудачного шага (точка 6) возвращаемся в предыдущую точку ( в данном случае в точку 5), фиксируем величину х1 и начинаем изменять х2, давая ему приращения Н3 или Н2 (точки 7,8,9,10).Затем снова движемся вдоль оси х1 (точки 11,12,13), снова меняем направление (точки 14,15) и т. д. ( разумеется, если факторов больше двух, то после движения вдоль осей х1 и х2 проводится движение вдоль осей х3 и х4 и лишь затем движемся вдоль оси х1.На рис 1 изображена ситуация, когда из точки 12 двигаться некуда: во всех окружающих точках (9,13,14,15) значение F меньше, чем в данной. Это значит, что мы уже приблизились к мах и прежние крупные шаги из точки 12 переносят нас через него. Поэтому уменьшаем шаги и продолжают поиск уменьшенными шагами. Уменьшение шага может производиться неоднократно. Но в этот момент, когда уменьшенные шаги оказываются меньше чем, соответственно, ε₁ и ε₂

Логично считать, что мах зафиксирован достаточно точно и можно закончить расчет, приняв лучшую точку за оптимум.