Следовательно, вместо уравнения (6.5) можно записать:

, (6.15)

или после интегрирования и определения постоянной подстановкой параметров свободной поверхности

. (6.16)

Полученное уравнение совпадает с формулой (6.13).

Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему вращение с постоянной угловой скоростью w вокруг его вертикальной оси. Жидкость постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, а свободная поверхность ее видоизменяется; в центральной части уровень жидкости понизится, у стенок - повысится, и вся свободная поверхность жидкости станет некоторой поверхностью вращения (рис. 6.6).

На жидкость в этом случае будут действовать две массовые силы - сила тяжести и центробежная сила, которые, будучи отнесенными к единице массы, соответственно равны g и w²r.

Рис. 6.6. Поверхность жидкости при вращении открытого

сосуда вокруг вертикальной оси

Равнодействующая массовая сила j увеличивается с увеличением радиуса за счет второй составляющей, а угол наклона ее к горизонту уменьшается. Эта сила нормальна к свободной поверхности жидкости, поэтому наклон этой поверхности с увеличением радиуса возрастает. Найдем уравнение кривой АОВ в системе координат z и r с началом в центре дна сосуда. Учитывая, что сила j является нормалью к кривой АОВ, из чертежа находим

tg a = dz/dr = w²r/g, (6.17)

откуда dz = w²rdr/g, или после интегрирования

z = w²r²/(2g) + C. (6.18)

В точке пересечения кривой АОВ с осью вращения r = 0, z = h = С, поэтому окончательно будем иметь:

, (6.19)

т.е. кривая АОВ является параболой, а свободная поверхность жидкости - параболоидом. Такую же форму имеют и другие поверхности уровня.

Пользуясь уравнением (6.19), можно определить положение свободной поверхности в сосуде, например максимальную высоту Н подъема жидкости и высоту h расположения вершины параболоида при данной угловой скорости w. Для этого необходимо использовать еще уравнение объемов: объем неподвижной жидкости равен ее объему во время вращения.

Для определения закона изменения давления во вращающейся жидкости в виде функции радиуса и высоты выделим вертикальный цилиндрический объем жидкости с основанием в виде элементарной горизонтальной площадки dS (точка М) на произвольном радиусе r и высоте z и запишем условие его равновесия в вертикальном направлении. С учетом уравнения (6.19) будем иметь

.

После сокращений получим

. (6.20)

Это значит, что давление возрастает пропорционально радиусу и уменьшается пропорционально высоте z. Если сосуд, вращающийся вокруг вертикальной оси, имеет крышку и заполнен жидкостью доверху, то ее форма измениться не может, но изменяется давление в соответствии с выражением (6.20).

Уравнение свободной поверхности жидкости можно найти, если положить р = р₀ После сокращений и преобразований уравнения (6.20) будем иметь

. (6.21)

7. Модель идеальной (невязкой) жидкости

7.1. Модель идеальной (невязкой) жидкости.

Уравнения Эйлера

Из всех моделей жидкости, рассматриваемых в гидромеханике, наиболее простой является модель идеальной жидкости. Идеальной жидкостью называют жидкость, в которой отсутствуют внутреннее трение и теплопроводность. Таким образом, при движении идеальной жидкости касательных сил трения нет и все взаимодействие между соприкасающимися объемами жидкости сводится к действию нормальных поверхностных сил.

Допущение об отсутствии касательных поверхностных сил означает, что недиагональные компоненты напряжений в точке движущейся жидкости, приведенные в выражении (4.14), обращаются в нуль

.

Это допущение относится не только к площадкам, нормальным к осям произвольно выбранной системы координат, но и к любой наклонной к координатным осям площадке. Тогда, согласно выражениям (4.13), можно написать проекции напряжения сил давления, нормальных к произвольно направленной площадке

;

и .

есть проекции напряжения на координатные оси, равные

.

Приравнивая правые части соответствующих проекций, получим

. (7.1)

Равенство (7.1) означает, что при движении идеальной жидкости, так же как при состоянии равновесия любой сплошной среды, нормальное напряжение в данной точке не зависит от направления площадки, к которой оно приложено.

В гидростатике и гидродинамике скалярную величину нормального напряжения давления в данной точке потока идеальной жидкости будем называть гидродинамическим давлением или давлением в данной точке. Знак минус означает, что гидродинамическое давление направлено в сторону, противоположную внешней нормали площадки.

Модель идеальной жидкости существенно упростила математическую постановку задач гидромеханики, поэтому долгие годы классическая гидромеханика занималась лишь изучением движения идеальной жидкости.

Несмотря на то что идеальная жидкость в действительности не существует, многие теоретические решения, полученные в предположении идеальности жидкости, имеют большое практическое значение. Пригодность модели идеальной жидкости, для многих задач обтекания тел объясняется прежде всего тем, что идеальная жидкость сохраняет основные свойства реальных жидкостей (непрерывность или сплошность). Кроме того, при обтекании хорошо обтекаемых тел (крыла самолета, ракеты, лопатки турбины и пр.) влияние вязкости на распределение давления по поверхности этих тел сказывается лишь в очень слабой степени. Однако влияние вязкости оказывает решающее значение при подсчете сопротивлений тел в движущейся жидкости.

Для вывода уравнения движения воспользуемся уравнением в напряжениях (5.11), проекция которого на ось х будет

где - проекция ускорения;

- проекция массовой силы, отнесенной к единице объема.

Остальные три слагаемых представляют собой производные от нормальных и касательных напряжений в жидкости.

Так как в идеальной жидкости вязкость отсутствует, а касательные напряжения равны нулю, то величина нормальных напряжений будет . Поэтому уравнения движения идеальной жидкости в проекциях на оси координат имеют вид

(7.2)

Полученную систему уравнений в векторной форме можно представить в виде

. (7.3)

Это уравнение движения идеальной жидкости часто называют уравнением Эйлера.

Для жидкости, находящейся в покое, из уравнения (7.3) можно получить известное уравнение гидростатики, приравняв к нулю производные от скорости по времени. В этом случае жидкость находится в равновесии под действием только массовых и поверхностных сил и уравнения примут вид

;

;

.

В общем случае скорость движения жидкости зависит как от координат, так и от времени, поэтому

.

Подставив соответственно выражение для и в уравнение (7.2), получим следующий вид дифференциальных уравнений движения (уравнений Эйлера)

(7.4)

Для интегрирования дифференциальных уравнений движения необходимо иметь некоторые начальные и граничные условия. Пусть обтекаемое тело будет неподвижным. Так как поверхность этого тела является поверхностью тока и через нее жидкость не течет, то нормальная составляющая скорости в точках поверхности тела равна нулю, т.е. .

Идеальная жидкость лишена вязкости, поэтому при обтекании тела частицы ее скользят по поверхности и касательная составляющая скорости в точках поверхности тела не равна нулю, т.е. .

Начальные условия могут быть заданы в виде значений проекций скорости на некоторой поверхности в потоке в момент времени .

В какой-либо точке потока должна быть известна также величина давления, а в случае сжимаемой жидкости и значение плотности.

Уравнению движения идеальной несжимаемой жидкости можно придать вид, отличный от уравнения Эйлера. Для этого формально преобразуем левую часть уравнения Эйлера.

Ускорение жидкости в проекции на ось х записывалось в уравнении Эйлера в виде

Добавлением и вычитанием величины этому выражению можно придать вид

.

Так как

и

,

то левая часть уравнения Эйлера будет иметь вид

,

где - проекция векторного произведения двух векторов на ось x.

Преобразуя аналогично остальные уравнения Эйлера, запишем уравнения движения идеальной жидкости в форме Громека

(7.5)

Предположим, что массовые силы, проекции которых на оси координат обозначены через X, Y и Z, имеют потенциал, т.е. что существует такая функция координат U, которая удовлетворяет следующим условиям

или

.

Это предположение можно сделать потому, что в практике массовой силой большей частью является сила тяжести, а сила тяжести, как известно, имеет потенциал.

Тогда, считая постоянной величиной, уравнения (7.5) можно записать в виде

;

;

или в векторном виде

. (7.6)

Уравнение (7.6), так же как и уравнение (7.5), называется уравнением Эйлера в форме Громека. Граничные и начальные условия для этих уравнений будут такими же, как и для уравнения Эйлера. Особенность уравнения Эйлера в форме Громека заключается в выделении в явном виде члена, содержащего вихрь вектора скорости.

При равенстве нулю слагаемого система уравнений (7.5) сильно упрощается и нетрудно получить интеграл этого уравнения. Последнее слагаемое обращается в нуль в трех случаях: 1) скорость потока равна нулю; 2) векторы скорости и вихря скорости параллельны и поэтому векторное произведение равно нулю. Это случай так называемого винтового движения, весьма редко встречающегося в практике; 3) вихрь скорости равен нулю. Это - безвихревой или так называемый потенциальный поток.