77. Построение интервальной оценки (доверительного интервала) (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии (вывод).

Х ~ N (a , δ), причем числовые значения ни а ни δ² не известны. По случайной выборке найдем эффективную оценку параметра а: Х «с крышечкой» и оценку

_n

s²=1|n-1 *Σ(X_i-X «с крышечкой»)² параметра δ²

ⁱ⁼¹

Построение интервальной оценки для а основано на статистике

t(n-1)= X «с крышечкой»-а|s/√n, которая при случайной выборке из генеральной совокупности Х ~ N(a , δ) имеет распределение Стьюдента с (n-1) степенью свободы независимо от значения параметра а и как функция параметра а непрерывна и строго монотонна.

С учетом неравенства

Х «с крышечкой»-u_а δ/√n <а<Х «с крышечкой»+ u_а δ/√n и симметричности двусторонних критических границ распределения Стьюдента будем иметь:

Р(-t_a<t(n-1)< t_a)=1-a

Решая неравенство -t_a<X «с крышечкой»-а|s/√n< t_a относительно а, получим, что с вероятностью 1-а выполняется неравенство

Х «с крышечкой» -t_a s/√n< Х «с крышечкой»+t_a s/√n

и ошибка оценки Х «с крышечкой» при неизвестном значении параметра δ²

∆ t_a s/√n,

где число t_a находят по таблице при k=n-1 и p=a

Х «с крышечкой»- u_а s/√n<a< Х «с крышечкой»+ u_а s/√n где Ф(u_а)=(1-а)/2

78. Интервальная оценка дисперсии случайной величины по выборке при известном и неизвестном математическом ожидании (формулы)

79. Вывести оценку требуемого объема выборки для построения доверительного интервала заданной длины для математического ожидания в случае нормального распределения.

80. Назначение и суть метода моментов и метода максимального правдоподобия.

81. Сформулируйте основной принцип статистической проверки гипотез.

если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.

82. Что такое ошибка 1-го рода?

состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают через .

83. Что такое ошибка 2-го рода?

состоит в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают через .

84. Что такое критическая область?

называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

85. Что такое уровень значимости?

называют вероятность ошибки первого рода и обозначают через .

86. Что такое мощность критерия?

называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза. Другими словами, мощность критерия есть вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза.

87. Какой критерий называется наиболее мощным?

критерий называется наиболее мощным, если из двух возможных критериев с заданным уровнем значимости α он обладает наибольшей мощностью, т.е. если его критическая область S* является такой, что

P(x принадлежит S*/H1)=maxP(x принадлежит S/H1),

Где максимум берется по тем S, для которых

P(x принадлежит S*/H0)=α

Так как мощность критерия равна 1-β, то использование наиболее мощного критерия гарантирует при заданной вероятности α ошибки первого рода наименьшую, по сравнению с другими критериями, вероятность β ошибки второго рода.