44. Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики.

Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью

где  - положительное число

Найдем закон распределения

F(x) = = + λ = 1- e^-λx

F(x) =

Интервал времени между двумя последовательными появлениями некоторого редкого события описывается случайной величиной, распределенной по показательному закону. Например, по показательному закону распределено время безотказной работы какого-либо устройства.

Найдем математическое ожидание и дисперсию.

∞

MX = = dx = = λ(- | + dx =

⁰

∞

- | =

0

Результат получен с использованием того факта, что

∞

xe^-λx | = 0

0

Для нахождения дисперсии найдем величину MX²

MX² = =

Дважды интегрируя по частям получаем

MX² =

Тогда DX = MX² – (MX)² =

σX =

Видно, что в случае показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны.

Также легко определить и вероятность попадания случайной величины, подчиненной показательному закону распределения, в заданный интервал.

P(a<X<b) = F(a) – F(b) = e^-λa – e^-λb

Показательное распределение широко используется в теории надежности.

45. Плотность распределения и функция распределения нормальной случайной величины (распределение Гаусса), ее числовые характеристики.

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

f(x) =

Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.

Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры MX и σX , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х.

Найдем функцию распределения F(x).

F(x) =

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1. Функция определена на всей числовой оси.

2. При всех х функция распределения принимает только положительные значения.

3. Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.

4. Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к. разность

(х – а)  входит в функцию плотности распределения в квадрате.

Найдем математическое ожидание и дисперсию.

MX = = *( )dx =

z = (x-a)/σ

Поскольку как интеграл по всей прямой от нечетной функции.

Таким образом, параметр а – математическое ожидание.

Найдем дисперсию нормальной случайной величины, снова применяя замену z = (x-a)/σ и интегрируя по частям:

DX = M(X-MX)² = = =

∞

= +

-∞

σ² - это дисперсия, а σ – среднее квадратичное отклонение.

Случайная величина называется центрированной, если ее математическое ожидание равно 0. Для того, чтобы центрировать случайную величину, надо вычесть из нее математическое ожидание:

M(X – MX) = MX – MX = 0

Случайная величина называется нормированной, если ее дисперсия равна единице. Для того чтобы нормировать случайную величину, надо ее поделить на среднее квадратичное отклонение:

D( = DX = = 1

Центрированная и нормированная случайная величина называется стандартной.