Интегральная теорема Лапласа.
Вероятность А от m1 до m2 раза при n испытаниях.
Р(m1,m2)-?
Р(m1,m2)
,
где
нечетная
Пример
1.
Вероятнос
ть
появления события в каждом из 100
независимых
испытаний =0,8. Найти вероятность того, что событие появится:
а)ровно 75 раз; б)не менее 75 и не более 90; в)менее 75 раз.
n=100 p=0.8 q=1-p=0.2
m=75
a) P75;
100=
x=
φ(-1.25)=0.1826
P=0.1826/4=0.05
б)
Р75;
90=
x1= Ф(x1)=0.1826
x2=
Ф(x2)=0.4938
Р75; 90=0.4938-0.1826=0.3112
в) P75; 100=Ф(x2)-Ф(x1)
=
=
P75; 100=Ф(5)+Ф(1,25)=0,5+0,3944=0,8944
Вероятное отклонение относительной частоты от показаний в независимых испытаниях
,
вероятность того, что относительная
частота отклонится от постоянной не
более чем на
Применим интегральную Т. Лапласа
Таким
образом мы получаем, что вероятность
отклонения =
Пример 1. Вероятность появления событий в каждом из 625
независимыхиспытаний=0,8. найти вероятность того, что
относительная частота появления событий отклоняется от его
вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.
n=625
p=0.8
q=1-p=0.2
x=
Ф=0,4938
Р=2*0,4938=0,9876
Пример 2. Вероятность появления событий в каждом из независимых испытаний
=0,5. Найти число испытаний, при которых с вероятность 0,7698 можно
ожидать, что относительная частота появления событий отклонится от
его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02
2Ф(х)=0,7698
=0,02
р=0,5 q=0.5
Ф=0,7698/2=0,3849
х=1,2=
1,2=
n=900
Пример 3. Вероятность появления события в каждом из 400 испытаний =0,8.
Найти такое положение , чтобы с вероятностью 0,99. Абсолютная
величина отклонения относительной частоты по абсолютной величине
не привышает .
p=0.8 q==0.2
Ф(х)=0,99/2=0,495
2Ф=0,99
n=400
2.58=
=0.0516
Формула Пуассона
Если n велико, а p вероятность в каждом испытании мала (p<0.1), то формула Лапласа дает неоправданно большую погрешность. В таких случаях для вычисления того, что в независимых испытаниях событие наступит m раз при n испытаниях вычисляется по формуле: где
a=np
Pm;
n
=
Пример 1. Издано 100 тыс. экземпляров книг. Вероятность брака составляет
0,0001. Найти вероятность того, что в тираже 5 бракованых книг.
n=100000 p=0.0001 m=5 a=10
ℓ
=0.000045
Пример 2.
а) n=12 m=7 p=0.6 q=0.4
б) n=200 m=1 p=0.6 q=0.4
P(1;
200)=
P(1; 200)=0
P(111; 130)=Ф(х2)-Ф(х1)=Ф(1,44)+Ф(1,3)=0,4265+0,4032=0,8297
в) Р(0; 10)=Ф(х2)-Ф(х1)
х2=-17,14 х1=-1,43
г) Р(115; 200)=Ф(х2)-Ф(х1)
=0,03 n=600 p=0.6 q=0.4
P=2*0.1808=0.36
=?
=?
n=600
P=0.993
P(m1; m2)=Ф(х2)-Ф(х1)
р=0,6
q=0.4
х=0,49
п=1866,24