3.2. Уравнение движения материального тела
Рассмотрим движение материального тела в вертикальной плоскости в поле сил тяжести.
Рис. 3.2. Движение объекта в поле сил тяжести
По горизонтали и вертикали уравнения Ньютона дают возможность записать:
m
=f
(t),
m
=f
(t)-
mg,
где m – масса объекта, g – ускорение свободного падения, f (t), f (t) – горизонтальная и вертикальная составляющие вектора сил, воздействующих на объект. Рассмотренную пару уравнений можно записать в виде
(3.3)
и произвести замены:
u
=
u
=
z
=x,
=
,
=u
;
z
=y,
=
,
=u
,
где
входные (управляющие) параметры – u
и u
,
координаты состояния -
,
(соответствуют координатам x
и y),
а
и
– скоростям движения по осям x
и y.
Используя все замены, систему уравнений (2,3) можно представить как
или в матричном виде
=
+
. (3.4)
Уравнение
(3.4) – это уравнение «движения» объекта
в фазовом пространстве (z
,z
,z
,z
)
R
,
а уравнение выхода можно (если это
необходимо) представить как вектор
«достижения» заданной точки на плоскости
(z
,z
):
=
–
.
3.3. Уравнение состояния модели двухсекторной экономики
Рассмотрим экономическую систему, состоящую из двух секторов: фондосоздающего и производства средств потребления. В качестве фазовых координат будем использовать основные фонды отраслей – К (t) и К (t).
Базовое уравнение для объема основных фондов в i-ом секторе можем записать в виде
К
(t)=
К
(t
)
(t
– t
)
+
,
, (3.5)
где
К
(t
)
– объем основных фондов в начальный
момент t
,
– инвестиции в развитие основных фондов,
которые для упрощения ситуации мгновенно
реализуются в фонды,
- функция, учитывающая расход основных
фондов (амортизацию) с течением времени:
,
,
.
Обычно
в качестве
принимают функцию exp(
),
.
Тогда после дифференцирования уравнения
(3.5) и подстановки
получим:
=
+
+
=
–
=
.
Используя (3.5), теперь можем записать основное уравнение для объема основных фондов
,
i
= 1,2. (3.6)
Схема взаимодействия отраслей и формирования потребления С(t) представлена на рис. 3.3.