7.2. Решение стационарной задачи

Рассмотрим теперь систему (7.1) - (7.2), но при условии, что , , и постоянны, , , а следовательно, , .

Таким образом, требуется решить задачу синтеза оптимального регулятора для системы:

, (7.28)

с минимизацией критерия

. (7.29)

В этом случае получаемая замкнутая система управления асимптотически устойчива.

Используя вывод уравнений (7.3) – (7.19), но, учитывая новые условия: постоянство , , , , равенства , , а также тот факт, что при , вместо (7.16) – (7.19), получим единственное уравнение ( ):

, (7.30)

которое называется алгебраическим матричным уравнением Риккати.

Когда же существует решение задачи синтеза стационарного регулятора? Оказывается, необходимо и достаточно, чтобы пара была стабилизируема. Действительно, учитывая все условия постановки стационарной задачи синтеза, положим, что система нестабилизируема. Тогда существует составляющая , которая неуправляема и одновременно

, (7.31)

а следовательно, исходя из (7.3) и (7.10), получим для уравнение

. (7.32)

Но тогда вследствие (7.31) правая часть (7.32), содержащая , не ограничена, и решения относительно не существует. Таким образом, необходимость доказана.

Пусть теперь положим, что искомое управление существует. Тогда (7.32) принимает вид

. (7.33)

Транспонируем (7.33) и получим (полагая и симметричными)

,

откуда следует, что , т.е. должна быть симметричной.

С другой стороны, из (7.3) следует, что

, (7.34)

но функция Беллмана является положительной, т.е. , а следовательно, учитывая (7.33), получаем, что , иначе говоря, должна быть положительно определенной матрицей.

Таким образом, доказана достаточность стабилизируемости при условии симметричности и положительной определенности . Таким образом, , а в соответствии с критерием Сильвестра положительной определённости матрицы имеем условия:

, ,…, . (7.35)

Учитывая вышесказанное, нужно из всех решений системы (7.30) найти то единственное, которое удовлетворяет условию (7.35). Число уравнений всегда равно .

Асимптотическую устойчивость получаемой замкнутой системы докажем, используя подстановку получаемого в задаче управления (из (7.21))

(7.36)

в уравнение (7.1) с :

. (7.37)

Из выражения (7.10), учитывая , получим .

Вычислим полную производную

и, используя уравнение Риккати (7.30), получим

. (7.38)

В последнем выражении – полуположительно определенная матрица (по условию), симметрична и положительно определена по условию, а следовательно, тоже положительно определена. Тогда второе слагаемое имеет вид , а это определяет его как положительно определенную матрицу.

Из всего этого очевидно, что справа в (7.38) стоит положительно определенная квадратичная форма и, учитывая минус перед правой частью, можем сказать, что - отрицательно определенная форма. Поскольку - положительно определена, то система асимптотически устойчива по Ляпунову.

Пример 7.2. Синтезировать управление для системы

, ,

при условии .

Решение. Из исходных уравнений динамики и функционала следует, что:

, , , .

Из уравнения (7.36) запишем .

Уравнение Риккати принимает вид:

,

откуда получим три уравнения

,

,

.

Из последних уравнений требованию положительной определенности соответствует решение:

, , .

Таким образом, .