7.3. Синтез оптимального линейного регулятора выхода

Зачастую ставится задача управления не по контролю фазовых координат, а по координатам входа - выхода . Тогда линейная система представляется уравнениями

, , (7.39)

, (7.40)

где - некоторый - мерный выходной сигнал.

Если предположить, что требуется, чтобы вектор выхода в процессе эволюции системы соответствовал в любой момент требуемому заранее заданному значению , то задача оптимального управления по выходу будет соответствовать минимизации функционала

(7.41)

в котором и имеют те же свойства, что и в (7.2).

Введем переменную выхода в виде отклонения от заданной величины с использованием (7.40)

. (7.42)

Тогда вместо (7.3) можем записать

(7.43)

с граничным условием

. (7.44)

Уравнение Беллмана в нашем случае примет вид

,(7.45)

из которого для оптимального управления (полагая, как и ранее, что оно находится внутри допустимой области ) получим выражение (7.8). Представим в виде (7.10) и, воспользовавшись (7.11), подставив всё в (7.45), получим (как и в (7.12) - (7.15)) систему уравнений

, (7.46)

, (7.47)

. (7.48)

Используя (7.43) и (7.10), можем записать граничное условие для функции Беллмана

(7.49)

из которого, сравнивая члены при равных степенях , получим систему ограничений

, (7.50)

, (7.51)

. (7.52)

Таким образом, оптимальное управление имеет вид

. (7.53)

Если ограничено, то выполненный вывод определяет нестационарный линейный оптимальный регулятор выхода.

Для стационарного регулятора выхода, когда , , , , и - постоянны, а и , дифференциальное уравнение Риккати (7.46) вырождается в алгебраическое:

, (7.54)

а и и выражение (7.53) принимает все тот же простой вид

.

Вывод уравнений регулятора выхода показывает, что он практически совпадает с регулятором состояния. Единственно, что нужно сделать, это положить

. (7.55)

Решение для нестационарного регулятора всегда существует, что следует из идей в разделе 7.1. Для синтеза стационарного регулятора решение существует, если система (7.39) - (7.40) стабилизируема и обнаруживаема.

В уравнении (7.55) матрица положительно определена по условию, но в общем случае является неотрицательно определенной и является положительно определенной, если только при .

Если не является положительно определенной матрицей, то решение (7.54) тоже в общем случае не является положительно определенной матрицей (хотя вполне может быть ею). Решение (7.54) является положительно определенной матрицей, если только система (7.39)-(7.40) является вполне восстанавливаемой.

Неотрицательная определенность матрицы состоит в замене в условии (7.35) строгого условия , нестрогим отношением .

Пример 7.3. Синтезировать регулятор выхода для системы

, ,

, ,

,

с минимизацией функционала

.

Решение. В нашем случае , , , , , .

Уравнение Риккати (7.46) принимает вид

откуда

, ,

, ,

, .

Если не ограничено, то получим , . Таким образом, для управления по замкнутому контуру получим

,

где определяется из (7.47) и (7.48)

, ,

, .

Если - константа, то при устойчивое решение уравнения для при может быть получено, если , . Если положить , то простым предельным переходом при можно найти

, .

Структурная схема решения приведена на рис. 7.3.

Рис. 7.3. Структурная схема оптимального решения

Если в линейной системе отыскивается оптимальное управление по выходу, причём система отображает динамику изменения состояния и выхода в отклонениях, то в задаче

, ,

,

,

подставив в критерий, получим его в виде

,

и задача может быть сведена к задаче в разделе 7.1 с заменой , .