Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Восточноукраинский национальный университет им. В. Даля

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

133-176.doc

Скачиваний:

Добавлен:

28.04.2019

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

7.4. Метод фазовой плоскости синтеза оптимальной по быстродействию системы

Пусть задана управляемая линейная система , причем все корни характеристического уравнения системы действительны.

Поставим задачу перевода системы из некоторого начального состояния в начало координат за минимальное время. На управление наложим ограничение , которое не ограничивает общности, т.к. к нему может быть приведено любое ограничение вида заменой .

Так как управление скалярное, условие нормальности совпадает с условием полной управляемости, а следовательно, выполнены все условия теоремы об интервалах.

В нашем случае и оптимальное управление имеет два интервала постоянства, где и . Следовательно, все фазовое пространство может быть разбито на два подпространства: в одном , в другом . Кривая, разделяющая подпространства называется кривой переключения. Если уравнение этой кривой , то в одном подпространстве , а в другом , тогда оптимальное управление можно представить в виде

. (7.56)

В этом случае синтез управления состоит в отыскании функции переключения .

В общем случае -мерной задачи функция переключения определяет собой уравнение гиперповерхности, которая делит все пространство состояний на два подпространства, и называется она гиперповерхностью переключения.

Пример 7.4. Рассмотрим систему, описываемую дифференциальными уравнениями

(7.57)

которую необходимо из начального состояния перевести в начало координат за минимальное время с учетом ограничения на управление в виде .

Решение. Решаем задачу с помощью принципа максимума Понтрягина, т.е. рассматриваем задачу

с гамильтонианом

. (7.58)

Из уравнения Эйлера-Лагранжа получим: , .

Из выражения (7.58) и принципа максимума следует, что оптимальное управление при условии имеет вид

. (7.59)

Константы и не являются произвольными, а должны удовлетворять условию .

Если , решение системы (7.57) позволяет получить:

(7.60)

откуда, исключая , получим

. (7.61)

При решение системы дает:

(7.62)

откуда, исключая , получим

. (7.63)

Рассмотрим траектории (7.61) и (7.63). Они представляют собой параболы, положение которых зависит от координат (рис 7.4).

Направление парабол может быть определено по уравнению из (7.60) и (7.62). Очевидно, что, если не лежит на ветвях парабол или , достичь начало координат система не сможет при использовании единственного управляющего воздействия (+1 или -1). Если лежит ниже линии , то включаем сначала , а по достижении линии включаем и достигаем (траектория на рис. 7.4). Если лежит выше линии , то включаем сначала , а по достижении линии включаем и достигаем (траектория на рис. 7.4).

Рис. 7.4. Построение линии переключения

Как видно из рисунка, использование других комбинаций управления уводит систему от точки . Таким образом, линия является линией переключения для рассматриваемой задачи, в которой возможные траектории имеют вид, представленный на рис. 7.5.

Рис. 7.5. Схемы возможных траекторий системы

Аналитический вид кривой переключения можно получить, выразив и через и , или для данного простого случая:

(7.64)

Из (7.64) можно записать

а следовательно, оптимальное управление имеет вид

Причем видно, что для точек выше линии переключения и, наоборот, для точек ниже линии. Реализовать полученный закон управления можно с помощью схемы (рис. 7.6), где интеграторы позволяют получить величины координат, а нелинейный блок вырабатывает величину . Оптимальное управление реализуется после сумматора в поляризованном реле, устанавливающем и реализующем знак функции .

-sign((x))



Рис. 7.6. Схема регулятора

Оптимальное время перехода можно определить из уравнений для и . Для случая , а , изменяя в некоторых пределах, можно получить кривую , т.е. зависимость времени перехода системы в начало координат от начального условия. На рис. 7.7 представлены четыре варианта траектории перехода, а на рис. 7.8 график зависимости , показывающий наличие особой (угловой) точки в этой зависимости.

Рис. 7.7. Вариант траектории системы в зависимости от начального состояния : , , ,

Рассматривая реальный процесс управления в соответствии с полученным алгоритмом, следует заметить, что в момент , соответствующий достижению траекторией гиперповерхности переключения , управление должно изменить знак, а изображающая точка траектории "протыкает" гиперповерхность переключения, так что в момент (где мало) она оказывается по другую сторону поверхности, но очень близко к ней. Это и приводит к смене знака у , а значит, и у . В следующий момент переключения траектория вновь "протыкает" гиперповерхность, оказываясь уже на другой стороне поверхности, изменив тем самым знаки у и . Таким образом и реализуется схема переключения управления для принципа максимума.

Рис. 7.8. Зависимость минимального времени перехода в начало координат при фиксированном

Пример 7.5. Рассмотрим систему

которую требуется за минимальное время перевести из начального состояния в конечное состояние с учетом ограничения .

Решение. Как и ранее, решая задачу Лагранжа, получим

, ,

Выражение для гамильтониана имеет вид

Так как - квадратный трехчлен относительно , то он может иметь два корня уравнения , которые являются моментами переключения для , принимающей значения и .

Для каждой из координат запишем:

для

или, заменяя , получим:

где с учетом начальных условий

Для

или, производя замены и используя начальные условия, получим

Очевидно, что уравнение поверхности переключения для этого случая имеет вид . Оно представляет собой конические гиперболические поверхности, "скольжение" по которым дает возможность достичь начала координат.

Решая задачу, мы получим для моментов переключения и окончания перехода:

и последовательность переключения:

В общем случае для расчёта линий (или поверхностей) переключения поступим таким образом. Для системы:

в задаче максимального быстродействия, т.е. , функцию Н запишем:

Из принципа максимума получим

С полученным управлением уравнение динамики принимает вид

а уравнения Эйлера-Лагранжа:

Для регулярного решения полагаем, что и система управляема. Тогда последнее уравнение имеет решение (учитывая граничные условия в )

Если в уравнении динамики положить и произвести замены и , то получим уравнение

решение которого при равно

Теперь можно получить состояние , из которого за минимальное время возможен переход в начало координат, если подставить величину и вычислить . Таким образом, устанавливается соотношение между допустимым начальным состоянием и .

Моменты переключения управления определяются из уравнения для , вычисляя точки, в которых

а координаты переключений (уравнения линий или поверхностей) – из решения этого же уравнения в момент переключения.

Возвращаясь к уже решенному примеру 7.4, запишем систему

Тогда матрица перехода, если использовать только линейную часть разложения, имеет вид

Таким образом, для имеем

для фиксированного переключение может возникнуть только при Тогда в точке переключения получим, учитывая, что :

Из последнего выражения можем записать:

В первом случае запишем

а во втором случае то есть

или .

Таким образом, линия переключения имеет вид

что соответствует параболам, а закон управления можно представить уже знакомым нам уравнением:

Пример 7.5. Требуется выполнить синтез оптимального управления для объекта, описываемого системой уравнений:

где при условии, что переход из начального состояния в начало координат нужно совершить за минимальное время, т.е. .

Решение. Проверим, является ли данная система нормальной. Матрица , матрица . Тогда матрицы М, которые определяют свойство нормальности системы, равны (в данном случае она единственна):