9.3.2 Связь добротности полюсов и функции чувствительности

При производстве АФ используются компоненты, имеющие значения, отличные от номинальных величин, в результате чего функции цепи также отличаются от своих номинальных значений. Кроме того, во время работы влияние внешних параметров, таких, как температура, механические вибрации и т.д., могут привести к изменению параметров цепей и к соответствующему изменению функции цепи. В широком смысле эти проблемы связаны с определением допусков различных схем.

Решающую роль при вычислении допусков цепей играет производная функции цепи по параметрам схемы. Эта производная называется функцией чувствительности:

.

Для оценки стабильности АФ, их нелинейных параметров, шумов и т.д. можно использовать относительную функцию чувствительности, описываемую выражением

. (9.55)

Для АФ, представленного на рис.9.19, чувствительность передаточной функции к коэффициенту передачи усилителя, входящего в состав АФ, равна:

. (9.56)

Учитывая (9.54), получаем, что модуль функции чувствительности пропорционален добротности полюса.

Как известно, при оценке уровня нелинейных искажений полезного сигнала часто используется коэффициент интермодуляционных искажений n-го порядка, который связан с функцией чувствительности.

Рис.9.19

Рис.9.20 Структурная схема (а) и граф сигналов (б) АФ

Структурная схема АФ соответствует рисунку 9.20, где Т₀₁- цепь прямой передачи сигнала на вход усилителя, Т₀₂ - цепь обратной передачи.

Коэффициент передачи АФ из рисунка 9.20,б равен

. (9.57)

Для выходного сигнала АФ, используя степенной ряд, можно записать

(9.58)

Расчет коэффициентов ряда Т_i можно произвести по методике [4], учитывая, что T₁ -это линейный коэффициент передачи и T₁=T_АФ:

, (9.59)

. (9.60)

В общем виде коэффициент ряда i-го порядка

, (9.61)

где - коэффициенты ряда для исходного усилительного элемента;

- коэффициент передачи сигнала на соответствующей частоте со входа АФ по входу усилительного элемента;

- передача сигнала с выхода усилительного элемента на выход АФ;

- соответствующие комбинационные составляющие вида , и т.д., в зависимости от порядка интермодуляции. В нашем случае для второго порядка и для третьего порядка.

В соответствии с рисунком 9.20,б по формуле Мезона

, (9.62)

. (9.63)

Тогда, если считать, что все коэффициенты передачи в пределах полосы прозрачности не изменяются, получим

, (9.64)

. (9.65)

Рассчитаем дифференциальную функцию чувствительности 1-го порядка коэффициента передачи АФ к коэффициенту передачи усилительного элемента

(9.66)

С учетом (9.57), (9.66) можно записать для (9.64) и (9.65)

, (9.67)

. (9.68)

Выражения для коэффициентов интермодуляции АФ можно записать в следующем виде:

, (9.69)

. (9.70)

где К₁₁ и К₂₁ – коэффициенты интермодуляции усилителя АФ.

Если считать, что АЧХ синтезируемого активного фильтра представляет собой в идеальном случае нормированный прямоугольник, высота которого равна единице, то

, (9.71)

. (9.72)

Усилитель АФ также может быть представлен некоторой широкополосной структурной схемой с местными обратными связями, для которой

,

.

Окончательные выражения для коэффициентов интермодуляции активного фильтра имеют вид:

, (9.73)

, (9.74)

где и - коэффициенты интермодуляции второго и третьего порядков исходного усилительного элемента W, на основе которого выполнено усилительное звено К;

и - дифференциальные функции чувствительности передаточной функции активного фильтра Т к коэффициенту передачи усилительного звена К и коэффициента передачи УЗ К к передаче УЭ W, соответственно.

Таким образом, при синтезе АФ возникает проблема, связанная с получением минимальной добротности комплексных полюсов.

Так как введение положительной обратной связи приводит к росту нелинейных искажений полезного сигнала, то при синтезе АФ стоит задача минимизации функции чувствительности с целью получения уровня нелинейных искажения полезного сигнала, не превышающего допустимого значения.

Из выражений видно, что отсутствие искажений в активных фильтрах может быть обусловлено тремя основными факторами, а именно:

1) наличием идеального усилительного элемента, т.е. и , или приближением реального УЭ к идеальному;

2) применением низкодобротных аппроксимаций при формировании передаточных функций, приводящих к получению (причем лучше, когда );

3) выполнением усилителя К на основе структурных методов синтеза усилительных трактов с нулевой или минимальной чувствительностью, т.е. .

Идеальных усилительных элементов в природе не существует, поэтому можно только приближаться к идеальным характеристикам. По частотным свойствам это можно делать с помощью цепей коррекции. По нелинейным характеристикам желаемый результат может быть достигнут с помощью глубоких местных отрицательных обратных связей или дополнительных нелинейных цепей, компенсирующих нелинейности основного УЭ.

Синтез активных фильтров с минимальной (или нулевой) чувствительностью возможен с привлечением теории пространства состояний и эквивалентных преобразований к получению передаточной функции. В этом случае синтез сводится к получению ряда возможных структур активных фильтров, из которых выбирается лучшая по требуемому критерию. Низкодобротные аппроксимации характеристик АФ означают отказ от классических методов синтеза фильтрующих цепей с помощью полиномов и дробей Чебышева, Баттерворта и т.д. Для синтеза АФ необходимы функции, позволяющие изначально получать минимальные значения добротности полюсов передаточных функций.

Третье направление заключается в реализации высоколинейного широкополосного усилительного тракта в составе активного фильтра и по сути дела является самостоятельным достаточно перспективным вариантом решения задачи синтеза высоколинейного активного фильтра.

На рисунке 9.21,а представлены примерные графики АЧХ для пассивной цепи, описываемой функцией , и для АФ . На рисунке 9.21,б приведен график функции чувствительности, соответствующей выражению (9.56).

Анализ рисунка 9.21 и выражения (9.56) позволяет сделать следующий важный вывод:

величина модуля функции чувствительности определяется отношением ординат соответствующих точек графиков АЧХ активного фильтра и пассивной RC-цепи, входящей в его состав. Причем, максимальное значение модуля функция чувствительности имеет в области, прилегающей к частоте среза АФ, в местах расположения всплесков АЧХ.

а б

Рис.9.21