Обчислення точкових характеристик розподілу

Замінюємо інтервальний ряд дискретним, для чого всі значення ознаки в межах інтервалу прирівнюємо його серединному значенню Хi* і вважаємо, що частота відноситься до середини інтервалу

Обчислення проводяться по формулах:

Середня арифметична:

Середнє лінійне абсолютне відхилення:

Вибіркова дисперсія:

Середнє квадратичне відхилення:

Коефіцієнт варіації:

Мода інтервального ряду розподілу:

^{де X}_o ^{- нижня границя модального інтервалу , тобто інтервалу, що має найбільшу частоту;}

h - величина модального інтервалу;

^f_m ^,f_m-1^,f_m+1 - відповідно частоти модального інтервалу, що передує модальному, наступного за модальним інтервалом.

Медіана інтервального ряду:

^{де Х}е ^{- нижня границя медіанного інтервала;}

^{∑f - сума частот (обсяг спостережень);}

^S_m-1 ^{– cума частот інтервалів, що передують медіанному.}

Коефіцієнт асиметрії:

де М₃ - центральний момент третього порядку:

S_x³ - куб середнього квадратичного відхилення.

Е ксцес:

де М₄ - центральний момент четвертого порядку:

Таблиця 3.4- Результати обчислень характеристик розподілу

i	Iнтер- вали	fi	Xi*	Xi* fi
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	x1-x2 …… xk - xk+1
	Разом:

Оцінка невідомих законів розподілу

Як оцінку щільності ймовірностей випадкової величини Х використовують інтервальний ряд. Перевірку гіпотези про вид теоретичного розподілу можна провести за допомогою критерію згоди Пірсона χ2 (хі-квадрат), заснованого на статистиці:

яка при виконанні гіпотези про рівність емпіричного закону розподілу теоретичному має розподіл Пірсона χ² з S = K - r - 1 ступенями свободи,

^{де r - число оцінюваних параметрів теоретичного розподілу;}

K - кількість інтервалів.

Гіпотеза відкидається на рівні значущості α, якщо обчислене значення χ² виявиться більше критичного , для рівня значущості α і числа ступенів свободи S. У противному випадку гіпотеза не відхиляється

Зазначимо, що оцінкою імовірності P_i влучення випадкової величини Х в i-ий інтервал є частота

,

а оцінкою функції розподілу F(X_i) – є розподіл накопиченої частоті

Перевірку гіпотези про рівність експериментального Fо(X) і теоретичного законів F(X) розподілів можна провести і за допомогою критерію згоди Колмогорова, що базується на статистиці D = max Fo(X ) − F(X ), що при справедливості гіпотези підлегла розподілу Колмогорова з n ступенями свободи.

На рівні значущості α гіпотеза відкидається, якщо

D >K(n,1−α), де K(n,1−α) - критичне значення, що знаходиться по таблицях розподілу Колмогорова.

Розрахунок теоретичних частот m_i у припущенні про нормальний закон розподілу.

При розрахунку теоретичних частот за оцінку параметрів µ (математичне сподівання) і σ (середньоквадратичне відхилення) нормального закону розподілу F(X):

приймають значення відповідних вибіркових характеристик, тобто приймають , σ = S. Тут S – оцінка середньоквад^{ратичного відхилення}

Розрахунок теоретичних частот m_i проводиться відповідно до виразу

де - стандартна функція щільності нормального розподілу, значення якої визначаються з таблиць.

Розрахунки проводяться в табл.3.5.

Таблиця 3.5 – Результати обчислень характеристик розподілу

i	Iнтер- вали	fi	Xi*
1	2	3	4	5	6	7	8
	………… Xk – Xk+1 Xk+1 – (
Разом:

Продовження таблиці 3.5

i	Iнтер- вали		(fi-mi)
1	2	9	10	11	12	13	14
	………… Xk-Xk+1 Xk+1 –
РАЗОМ:

Результати табл.3.5 представляються двома малюнками на кожнім з який розміщаються два графіки. Для перевірки за критерієм Пірсона емпіричний розподіл представляється гістограмою, теоретичне полігоном. Перевірка за критерієм Колмогорова ілюструється двома кумулятами (теоретичного й емпіричного законів).

Оцінка підприємницького ризику

Задача визначення системи кількісних оцінок підприємницького ризику складається в оцінці найбільш ймовірного (W(X_j))^{, допустимого} (W(X_дп))^{, критичного} (W(X_КР )) і катастрофічного ри^зику (W(X _кт )) ^.

Найбільш повний опис підприємницького ризику дає крива щільності розподілу ймовірностей втрат f (x ) . Типова крива такого виду зображена на малюнку 3.1

На кривій щільності розподілу ймовірностей зазначені чотири крапки.

Перша крапка (1) - найбільш ймовірні втрати (Хj), а щільність імовірності їхньої появи - f(Xj).

Величина Хj, обчислювальна в абсолютному вираженні чи у відносному стосовно доходу, що розраховується, асоційована з поняттям найбільш ймовірного ризику.

Друга крапка (2) - втрати рівні величині очікуваного прибутку ХДП, величина щільності імовірності таких утрат f(X_ДП) асоційована з допустимим ризиком.

Рисунок 3.1 – Типова крива цільності розподілу ймовірностей витрат (ризику)

Третя крапка (3) - характеризує критичний ризик : Х_КР утрати, що дорівнюють розрахованій сумі доходу, щільність таких утрат f(Х_КР) називається щільністю критичних втрат.

Четверта крапка (4) - характеризує катастрофічний ризик : Х_КТ втрати по величині рівні всьому майну підприємця, щільність імовірності таких утрат - f(Х_КТ), що називають щільністю катастрофічних втрат (ризику).

Встановлення диференціального закону (щільності) розподілу ймовірностей втрат дозволяє визначити показники найбільш ймовірного (тільки для дискретних розподілів), припустимого, критичного і катастрофічного ризиків.

Для дискретних рядів розподілів втрат (розглядається ранжирований ряд у порядку зростання Хi:

Можливий рівень втрат (Хi) ^X₁^{, X}₂^{, X}₃^{,....... , X}_n

Ймовірність появи даного рівня втрат (Рi) P₁, P₂, P₃, ....... , P_n

Визначаються показники підприємницького ризику двох видів:

- ймовірність визначеного рівня втрат Рi = Р(Х=Хi);

- ймовірність перевищення визначеного рівня втрат Р (Х>Хi);

Показники найбільш ймовірного ризику:

V(Xj) - ймовірність утрат, що мають найбільшу імовірність V(Xj) = P(X = Xj) = max {Pi} .

Показники припустимого ризику:

V(X_ДП) - ймовірність того, що втрати дорівнюють величині очікуваного прибутку

V(XДП)=P(Xi = XДП) = Рi_ДП

W(X_ДП) - ймовірність того, що втрати перевищать величину очікуваного прибутку

W(XДП) = Р (Xi > XДП)=

Показники критичного ризику:

V(X_КР) - ймовірність того, що втрати дорівнюють величині розрахункового доходу

V(X_КР)=P(Xi = X_КР) = Рi_КР;

W(Х_КР) - ймовірність того, що втрати перевищать величину розрахункового доходу

W(XКР) = Р (Xi > XКР) =

Показники катастрофічного ризику:

V(X_КТ) - ймовірність того, що втрати дорівнюють величині майна підприємця

V(X_КТ)=P(Xi = X_КТ) = Рi_КТ;

W(Х_КР) - ймовірність того, що втрати перевищать величину майна підприємця

W(X_КТ) = Р (Xi > X_КТ) =

Для безупинних рядів розподілу втрат поряд із кривою щільності розподілу ймовірностей f (x) важливим є інтегральний закон розподілу ймовірностей F(х):

F(X) = P(x ≤ X) = ∫f(x)dx чи

W(X) = 1 − F (X) = P(x > X) = ∫ f (x)dx,

тобто кривої імовірності перевищення визначеного значення втрат. На рис. 3.2 зображено типову форму такої кривої:

Рисунок 3.2 - Типова форма кривої перевищення визначеного значення втрат

Для безупинних рядів розподілів втрат визначаються три показники ризику підприємницької діяльності:

Показник допустимого ризику :

W(X_ДП) - імовірність того, що втрати перевищать величину очікуваного прибутку:

W(X _ДП ) = P(X > X _ДП ) =

Показник критичного ризику :

W(X_КР) - ймовірність того, що втрати перевищать величину розрахункового доходу (доходу):

W(X _КР) = P(X > X _КР ) =

Показник катастрофічного ризику :

W(X_КТ) - ймовірність того, що втрати перевищать величину майна підприємця:

W(X КТ) = P(X > X КТ ) =

Розв’язування задачі підприємницького ризику

Для рішення задачі оцінки системи показників підприємницького ризику при припущеннях необхідно скористатися результатами виконання пунктів завдання 3.1, склавши табл. 3.6.

Таблиця 3.6 - Емпіричний і теоретичний розподіл втрат у частках доходу

і	Iнтервали	Хі*	fi		mi
1	2	3	4	5	6	7
	X1-X2
	…………
	Xk-Xk+1
	Xk+1-
Разом

Інтервальний ряд втрат табл. 3.6 можна інтерпретувати як дискретний ряд розподілу втрат (з дискретними значеннями втрат, рівними серединним значенням інтервалів) чи як безупинний.

У силу допущення про нормальний закон розподілу втрат використовуються теоретичні ймовірності влучення випадкової величини Х в відповідний інтервал.

Для визначення координат Х_ДОП, Х_КТ вводяться дві нові випадкові величини:

1. Y - втрати в частках прибутку

де П_ОТ - втрати

П_Р - очікуваний прибуток від реалізації (балансова)

2) Z - втрати в частках майна

тут Ім – майно підприємця.

Прибуток, дохід, майно розглядаються як детерміновані величини. Отже, між випадковими величинами може бути встановлений зв'язок в силу чотирьох наступних допущень задачі (б, в, г, д).

У силу допущень в),г):

де Зат - поточні витрати.

У силу допущень б), в), д) :

Оскільки

і

звідки

Крім того:

тому що

Маємо наступний зв'язок між змінними X, Y, Z :

_{Y =} ^Пот ₌

Пот

1

1

^{= Z = Z = 5Z}

^{П р R} _об ^{⋅ Им}

^R _об

0.2

Користаючись властивостями характеристик ряду розподілу випадкової величини, зокрема, якщо збільшити (зменшити) варіанти розподілу в одне і теж число раз, то можна встановити, що для змінних Y і Z буде відрізнятися тільки границями інтервалів, а отже, і середніми значеннями, що збільшаться (зменшаться) в одне і теж число раз.

Це дає можливість визначити координати Х характерних крапок підприємницького ризику Хj, Хдоп, Хкр, Хкат.

Хкр - координата крапки, де втрати відповідають доходу : Пот = Дох, внаслідок чого:

Для координати ХДОП втрати рівні прибутку, тобто ПОТ=ПР, тоді

Для координати ХКТ втрати дорівнюють майну :

П_ОТ = І_М,тоді

X=2.222,

Z=2.222.

Інтерпретуючи розподіл втрат як дискретний розподіл, визначають систему показників для дискретного ряду:

V(X_j) ; V(X_ДОП) ; V(X_КР) ; V(X_КТ) ;

W(X _ДОП ) ; W(X _КР ) ; W(X _КТ ) ;

V(X j ) - відповідає max значенню в колонці (7)

V(X _ДОП ) - дорівнює значенню стовпчика (7) , що відповідає інтервалу, в який влучає значення Х=0.444

V(X _КР ) - дорівнює значенню стовпчика (7) , що відповідає інтервалу, що містить зна чення Х=1.

V(X _КР ) - дорівнює значенню стовпчика (7) , що відповідає інтервалу, який містить значення Х=2.222

W(X_ДОП) - визначається сумою ймовірностей, стовпчик (7) , починаючи з імовірності інтервалу, що містить Х=0.444 і до останнього - (к+2) інтервалу .

W(X_КР) - дорівнює сумі ймовірностей, стовпчик (7) , починаючи з ймовірності інтервалу, що містить Х=1.000, і до останнього інтервалу .

W(X _КТ ) - дорівнює сумі ймовірностей, стовпчик (7) , починаючи з ймовірності інтервалу, що містить Х=2.222 і до останнього інтервалу.

Система показників для безупинного ряду розподілу витрат відповідає показникам W(X_ДОП); W(Х_КР);W(Х_КТ) дискретного ряду.

Результати зручно звести в табл. 3.7.

Таблиця 3.7 – Результати розрахунків

Координата Х		Координати V(X);W(X)
Позначення	значення	Дискретного ряду	Безупинного ряду
		V(X)	W(X)	W(X)
Xj
XДОП
XКР
XКТ

Основні питання для самоперевірки

1. Наведіть приклади показників, що використовуються для кіль­кісного вимірювання ступеня

2. Що означають терміни "допустимий", "критичний" та "катастрофічний" ризик? Як кількісно оцінити ці величини?

3. Охарактеризуйте основні методи числового аналізу ступеня економічного ризику.

4. Побудуйте криву ймовірностей збитків.

5. Яким критеріям повинен відповідати цикл втрат, за який зби­рається статистична інформація для побудови кривої ризику.

6. Дати порівняльну характеристику методів побудови кривої ризику (їх позитивні і негативні сторони, вказати, коли вони застосовуються ).

7. Для побудови кривої ризику застосовані дані суб'єктивної імовірності. Який метод побудови кривої ризику при цьому був вико­ристаний?