Лабораторна робота № 4 обгрунтування рішень в умовах ризику та невизначеності

Завдання: Підприємство має визначити випуск виробництва деякого виду продукції так, щоб задовольнити потребу споживачів протягом визначеного часу. Конкретна кількість споживачів невідома, але очікується, що вона може становити одне з п’яти значень: 1000, 2000, 3000, 4000, 5000. Для кожного з цих значень існує п’ять відповідних альтернативних рішень. Для кожного з можливих значень існує найкраща альтернатива з погляду можливих прибутків. Відхилення від цих альтернатив призводить до зменшених прибутків через пропозиції на попит або неповного задоволення попиту. Відповідно до цього можливі додаткові витрати через незадоволення попиту — 1 грн за одиницю й витрати через перевищення пропозиції на попитом — 2 грн за одиницю.

Потрібно знайти оптимальну альтернативу випуску продукції з погляду максимізації прибутків за допомогою критеріїв: Байєса (за умов, що ймовірності виникнення попиту відповідно становитимуть 0,1; 0,2; 0,3; 0,25; 0,15); Лапласа, Вальда, Севіджа за умов повної невизначеності і Гурвіца з коефіцієнтом оптимізму 0,6.

Варіант задається двома цифрами: перша — варіант визначення ціни одиниці продукції, друга — змінних витрат на одиницю продукції (табл. 4.1).

Таблиця 4.1 – Варіанти для завдання

Варіант	Ціна одиниці продукції, грн	Змінні витрати на одиницю продукції, грн
1	22	12
2	23	12
3	24	11
4	25	13
5	26	12
6	27	12
7	28	16
8	29	13
9	30	13
10	31	17

Методичні рекомендації до виконання роботи

Приклад. Фірма виробляє товар А на продаж до магазинів. Собівартість одиниці товару становить 0,30 грн. Її продають за 0,7 грн.

Попит на добу, од.	10	12	14	16	18
Частота	5	10	15	15	5

Якщо товар виготовлено, але не продано, то додаткові збитки становлять 0,20 грн за одиницю. Зробити висновок, скільки виробляти продукції за кожним правилом.

Для кожного з можливих значень існує найкраща альтернатива з погляду ймовірних прибутків . Відхилення від цих альтернатив призводить до зменшення прибутків через підвищення пропозицій над попитом або неповного задоволення попиту.

Рішення залежить від ситуації на ринку, тобто від конкретної кількості споживачів. Конкретна кількість споживачів наперед невідома й може бути п’яти варіантів: S₁,S₂, S₃, S₄, S₅. Є можливими п’ять варіантів випуску продукції підприємством: А₁, А₂, А₃, А₄, А₅. Кожній парі, що залежить від стану середовища — S_j та варіанта рішення — A_i, відповідає значення функціонала оцінювання — V(A_i,S_j), що характеризує результат дій .

Таблиця 4.2 – Прибуток від реалізації (матриця прибутків), тис.грн.

Варіанти рішень, Аi	Можливий попит, Sj
	10	12	14	16	18
10	(0,7 – 0,3) · 10 = 4,0	(0,7 – 0,3) · 10 = 4,0	4,0	4,0	4,0
12	0,7 · 10 – 0,3 · 12 – 2 · 0,2 = 3,0	(0,7 – 0,3) · 12 = 4,8	4,8	5,6	4,8
14	1,0	0,7 · 12 – 0,3 · 14 – 2 · 0,2 = 3,8	(0,7 – 0,3) · 14 = 5,6	(0,7 -0,3) · 16 = 6,4	5,6
16	0,0	2,8	4,6	(0,7 -0,3) · 16 = 6,4	6,4
18	0,0	1,8	3,6	5,4	(0,7 – 0,3) · 18 = 7,2
Імовірність	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Таблиця 4.3 –Вибір оптимального рішення за критерієм Байєса

Варіанти рішень, Аi	Можливий попит, Sj
	10	12	14	16	18
10	4,0	4,0	4,0	4,0	4,0	4,0 · 0,1 + 4,0 · 0,2 + 4,0 · 0,3 + 4,0 · 0,3+ 4,0 · 0,1 = 4
12	3,0	4,8	4,8	4,8	4,8	3,0 · 0,1 + 4,8 · 0,2 + 4,8 · 0,3 + 4,8 · 0,3 + 4,8 · 0,1 = 4,62
14	2,0	3,8	5,6	5,6	5,6	4,88	А3
16	1,0	2,8	4,6	6,4	6,4	4,60
18	0,0	1,8	3,6	5,4	7,2	3,78
Імовір­ність	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1	Х

Потрібно знайти оптимальну альтернативу випуску продукції з погляду максимізації прибутку за допомогою критеріїв Байєса за умов відомих імовірностей станів, Лапласа, Вальда, Севіджа за умов повної невизначеності та критерій Гурвіца.

Оптимальну альтернативу за критерієм Байєса можна обчислювати за такими формулами:

для ; (4.1)

для . (4.2)

Ми знаходимо оптимальну альтернативу випуску продукції з погляду максимізації прибутків, тобто функціонал оцінювання має позитивний інгредієнт — тому використовуватимемо відповідні формули (розрахунки наведено в табл. 4.3).

За критерієм Байєса оптимальним буде альтернативне рішення А3, оскільки воно передбачає максимальний очікуваний прибуток.

Критерій Лапласа характеризується невідомим розподілом імовірностей на множині станів середовища та ґрунтується на принципі «недостатнього обґрунтування», який означає: якщо немає даних для того, щоб вважати один зі станів середовища ймовір­нішим, то ймовірності станів середовища треба вважати рівними.

Оптимальну альтернативу за критерієм Лапласа можна знайти за формулами

для ; (4.3)

для . (4.4)

За критерієм Лапласа оптимальним буде альтернативне рішення А3.

Розрахунки наведено в таблиці 4.4.

Критерій Вальда вважається найобережнішим із критеріїв. Оптимальне альтернативне рішення за критерієм Вальда визначається так (таблиця 4.5):

для ; (4.5)

для . (4.6)

Таблиця 4.4 - Вибір оптимального рішення за критерієм Лапласа

Варіант рішень, Аі	Можливий попит, Sj
	10	12	14	16	18
10	4,0	4,0	4,0	4,0	4,0	1/5 · (4,0 + 4,0 + 4,0 + 4,0 + 4,0) = 4
12	3,0	4,8	4,8	4,8	4,8	1/5 · (3,0 + 4,8 + 4,8 + 4,8 + 4,8) = 4,4
14	2,0	3,8	5,6	5,6	5,6	1/5 · (2,0 + 3,8 + 5,6 + 5,6 + 5,6) = 4,5	А3
16	1,0	2,8	4,6	6,4	6,4	1/5 · (1,0 + 2,8 + 4,6 + 6,4 + 6,4) = 4,2
18	0,0	1,8	3,6	5,4	7,2	1/5 · (0,0 + 1,8 + 3,6 + 5,4 + 7,2) = 3,6

Таблиця 4.5 - Вибір оптимального рішення за критерієм Вальда

Варіанти рішень, Аi	Можливий попит, Sj
	10	12	14	16	18
10	4,0	4,0	4,0	4,0	4,0	4,0
12	3,0	4,8	4,8	4,8	4,8	3,0
14	2,0	3,8	5,6	5,6	5,6	2,0
14	2,0	3,8	5,6	5,6	5,6	2,0
16	1,0	2,8	4,6	6,4	6,4	1,0
18	0,0	1,8	3,6	5,4	7,2	0,0

За критерієм Вальда оптимальним буде альтернативне рішення А1.

Для того щоб застосувати критерій Севіджа, потрібно побудувати матрицю ризику як лінійне перетворення функціонала оцінювання.

Для побудови матриці ризику використовують такі формули:

для F⁺ ; (4.7)

для . (4.8)

Тепер можна застосувати критерій Севіджа до матриці ризику за формулою

(4.9)