§5. Примеры.

1) Ряд получается умножением рядов и , которые (абсолютно) сходятся при и ; для этих же значений (абсолютно) сходится и двойной ряд.

Если или , то нарушается необходимое условие сходимости: общий член не стремится к нулю, когда и независимо стремятся к и ряд расходится. Легко проверить непосредственно, что расходимость налицо, когда или . Действительно, рассмотрим

Предполагается, что , а , будем иметь, что существует конечный предел , но не существует предела , т.к. есть частная сумма ряда , который расходится, поскольку не выполнено необходимое условие сходимости: , этот предел вообще не существует, если .

2) Рассмотрим ряд

.

Он также получается умножением рядов

и ,

которые сходятся при и , так что двойной ряд при этих предположениях сходится. Наоборот, если (или ), то двойной ряд расходится, ибо тогда расходятся все ряды по строкам (по столбцам) и тогда, по теореме 6, из расходимости повторного ряда следует расходимость двойного ряда.

3) Исследуем сходимость ряда

.

Для этого представим его в виде простого ряда, расположив члены его но диагоналям

Так как члены, лежащие на одной диагонали, равны, то объединив их для удобства подсчета, получим ряд

.

Ввиду очевидных неравенств

,

деля на , будем иметь

.

Отсюда ясно, что полученный нами простой ряд сходится при и расходится при . По теореме 7, то же справедливо и для двойного ряда.

4) Рассмотрим теперь более сложный ряд

,

где форма предполагается положительной определенной. По критерию Сильвестра, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры определителя

были положительны, т.е. . Но тогда (если ) и . Если через обозначить наибольшее из чисел , то, очевидно,

.

В таком случае, из предыдущего примера 3) ясно, что при наш ряд расходится, в силу признака сравнения.

С другой стороны, имеем

.

Отсюда легко получить, что

.

аналогично получаем . В итоге, , так что при наш ряд сходится, на основании примера 2).

5) Задача Х.Гольбаха. Пусть пробегает всевозможные степени с натуральными основаниями и показателями (большими единицы), и притом - каждую однажды.

Доказать, что

Если принимает всевозможные натуральные значения (>1), не являющиеся степенями, то

Отсюда ,

где на этот раз пробегает уже все натуральные значения, начиная с 2, так что, действительно, .

Любопытно сопоставить этот результат с результатом Штейнера

(Здесь степени могут появляться и не однажды!)

6) Рассмотрим функцию двух переменных

.

Перемножая абсолютно сходящиеся ряды

, ,

получим для этой функции (тоже абсолютно сходящийся по теореме Коши) двойной ряд

.

Поскольку абсолютно сходящийся двойной ряд обладает переместительным свойством, то на основании теорем 10 и 11 его можно преобразовать в повторный ряд, собирая члены с одинаковыми степенями :

Ряд , по определению, есть сумма двух рядов . Здесь для

, а для

Легко видеть, что .

Функция называется функцией Бесселя порядка . Эти функции играют важную роль в математической физике, небесной механике и т.д. функция , из разложения которой они получаются, носит название «производящей функции» для бесселевых функций.

7) Интересный пример дает матрица :

Здесь ряды по строкам абсолютно сходятся и имеют, соответственно, суммы Ряд, составленный из этих сумм, тоже абсолютно сходится, т.к. ряд

. Между тем другой повторный ряд не сходится, т.к. ряды по столбцам имеют суммы, равные или -1: для любого имеем

.

Этот факт нисколько не противоречит теореме 11, т.к. для матрицы из абсолютных величин ни один повторный ряд не сходится. Иначе: абсолютная сходимость по строкам (столбцам) и абсолютная сходимость ряда из их сумм не может заменить требование сходимости повторного ряда из абсолютных величин.

8) Ряд Ламберта- это ряд

(15)

Покажем сначала следующее: если ряд

(А)

сходится, то ряд Ламберта (15) сходится при всех значениях ; в противном случае он сходится как раз для тех значениях , для которых сходится степенной ряд

(16)

Доказательство: (K.Knopp) а) Пусть сначала ряд (А) расходится, так что радиус сходимости ряда (16) будет . Покажем, что для поведение рядов (15) и (16) одинаково.

Если сходится ряд (15), то сходится и ряд, полученный умножением его членов на , а следовательно, и ряд (16), как разность двух сходящихся рядов:

.

пусть теперь сходится ряд (16); тогда, по признаку Абеля сходится ряд , полученный умножением его членов на монотонно убывающие множители ; т.е. сходится ряд , равно как и ряд . Следовательно, сходится и ряд (15), который представляет из себя сумму этих рядов:

.

Для ряд (16) заведомо расходится; мы утверждаем, что при этом значении расходится и ряд (15). Действительно, в противном случае из сходимости ряда

вытекала бы сходимость рядов

и ,

вопреки предположению.

б) Если ряд (А) сходится (так что ), то для ряд (16) сходится и сходимость ряда (15) устанавливается, как и выше. Остается показать, что ряд (15) сходится и при . Действительно, тогда и ряд

,

как упомянуто, сходится, следовательно, сходится ряд

.

Итак рассмотрим ряд Ламберта (15), ограничиваясь предположением, что . Мы видели, что при этом предположении ряд Ламберта сходится при тех же значениях , что и степенной ряд (16). Допустим, что радиус сходимости этого ряда и будем считать .

Очевидно, что

и ряд Ламберта (15) можно записать как двойной ряд

(17)

Сопоставим этому двойному ряду матрицу с двумя входами, помещая одинаковые степени в один столбец (пустые места можно заменить нулями):

Повторный ряд по строкам как раз и имеет сумму . Т.к. степенной ряд (16), а с ним и ряд Ламберта, сходится при замене на и на , то можно применить теорему 11 и просуммировать двойной ряд (17) по столбцам. Мы получим разложение в степенной ряд

, причем ;

значок условно означает, что сумма распространяется лишь на делители числа .

Например, полагая или (в обоих случаях, как легко проверить, , так что достаточно считать просто ), будем иметь соответственно:

, ,

где означает число, а -сумму делителей .

9) Расположив члены двойного ряда (17) иначе, без пропусков:

мы сохраняем те же суммы по строкам, по столбцам же получим, по порядку:

Таким образом, мы приходим к тождеству, связывающему функции и :

.

Например, взяв , где , будем иметь

,

так что

.

10) Обобщение ряда Ламберта.

Пусть даны два степенных ряда

и .

Предположим, что оба ряда абсолютно сходятся при . Составим матрицу с двумя входами из элементов и соответствующий двойной ряд

Так как (для ) , то

и

Отсюда легко заключить, что двойной ряд, соответствующий взятой матрице, абсолютно сходится. Приравнивая, на основании теоремы 9, суммы повторных рядов, найдем тождество:

.

Отсюда тождество предыдущего примера получается при (так что ).