§7. Область сходимости двойного степенного ряда.

Так же, как и для простых степенных рядов, в теории двойных степенных рядов решается задача о нахождении области сходимости ряда (18), т.е. множества тех точек плоскости, для которых ряд сходится. Как и в случае простых степенных рядов, имеет место основная

Лемма. Если ряд (18) сходится в некоторой точке , обе координаты которой отличны от нуля, то он абсолютно сходится во всех точках , удовлетворяющих неравенствам (т.е. во всем открытом прямоугольнике с центром в начале координат и с вершиной в точке ).

Доказательство: вполне аналогично доказательству соответствующей леммы для простых степенных рядов. Из ограниченности членов ряда (18) при имеем

,

так что

.

Поскольку ряд сходится, если только , то отсюда, признаку сравнения следует абсолютная сходимость ряда (18).

Мы станем изучать в дальнейшем лишь такие ряды (18), для которых подобные точки существуют - другие ряды дл нас не представляют интереса. Заметим попутно, что всякий двойной степенной ряд сходится при и , т.е. в начале координат. И в то же время существуют двойные ряды, которые больше нигде не сходятся, т.е. расходятся, если . Примером такого ряда может служить двойной ряд

,

который расходится при любых , если , т.к. общий член ряда при , .

Характер доказанной леммы позволяет нам ограничиться рассмотрением лишь первого координатного угла. Полученные результаты по симметрии распространяются и на остальные углы.

Чтобы определить теперь область сходимости ряда (18) возьмем в первом угле луч , исходящий из начала под углом к оси .

Р ассмотрим множество длин отрезков , где - точка сходимости ряда (18) и пусть - его точная верхняя граница.

Если хоть для одного луча , то в силу леммы, ряд (18) оказывается сходящимся (и притом - абсолютно) на всей плоскости, которая и играет роль области сходимости .

Исключим теперь этот случай всюду сходящегося ряда (18). Тогда будет конечной функцией от и на каждом луче найдется пограничная точка , для которой . Она отделяет точки луча, в которых ряд (абсолютно) сходится от точек, где он расходится. В самой точке , смотря по случаю, может иметь место и сходимость и расходимость.

Если провести через вертикаль и горизонталь , то внутри прямоугольника ряд заведомо сходится, а внутри угла - заведомо расходится (по лемме!). Поэтому на новом луче , отвечающем какому-нибудь другому углу , вдоль будет сходимость, а вдоль - расходимость. Следовательно, пограничная точка на этом луче должна лежать между . Отсюда легко усмотреть, что при изменении от до описывает в первом координатном угле непрерывную пограничную кривую.

Т.к. при уменьшении абсцисса точки не убивает, а ордината ее не возрастает, то обе имеют предельные значения при . Тогда, очевидно, имеет предельное значение и :

.

Если этот предел конечен, то точка стремится к некоторой предельной точке на оси . В противном же случае пограничная кривая имеет асимптотику, параллельную оси (которая может совпадать и с самой осью ).Все сказанное годится и для случая .

Замечание. Не следует , однако, думать, что предельная точка , о которой только что шла речь, необходимо совпадает с пограничной точкой на самой оси . Точка может оказаться и правее (и даже лежать в бесконечности). Эта возможность не должна Вас удивлять, т. к. лемма и построенные на ней рассуждения относятся лишь к точкам вне координатных осей.

Дополним теперь построенную в первом координатном угле кривую симметричными ей (относительно обеих осей и начала координат) кривыми в остальных углах. Таким путем мы получим полную пограничную кривую, которая в существенном и определит интересующую нас “область сходимости” : в той части плоскости, которая извне ограничена этой кривой, ряд (18) сходится (и притом абсолютно), во внешней части плоскости ряд расходится (если не считать координатных осей), в точках же самой пограничной кривой может иметь место как сходимость, так и расходимость.

Рассмотрим примеры

1) Для ряда

,

как мы видели в 5, область сходимости сводится к открытому прямоугольнику

в пределах которого его суммой будет .

2) Для аналогичного ряда

где индексы изменяются, начиная с 1, область сходимости будет состоять из этого же прямоугольника, но с присоединением обеих координатных осей. В этом случае, хотя пограничная точка , о которой речь шла выше, и стремится при к предельной точке на оси , но сходимость имеет место на всей этой оси (см. замечание).

3) Ряд

,

очевидно, абсолютно сходится на всей плоскости.

4) Для того, чтобы сходился абсолютно ряд

,

т. е. сходился ряд

необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд

который получается из предыдущего суммированием по диагоналям. Это приводит нас к условию . Следовательно, область сходимости представляет собой косо построенный квадрат с вершинами в точках , :

Черт.1 Черт.2

5) Рассмотрим, в заключение следующий двойной ряд

Если, предположив его абсолютную сходимость, просуммировать его по строкам, то получим

Отсюда ясно, что для абсолютной сходимости необходимо: , . Эти неравенства и достаточны. Область сходимости изображена выше на черт. 2.