§6. Двойные степенные ряды.

Степенным рядом с двумя переменными и или двойным степенным рядом называется двойной ряд вида

, (18)

расположенный по целым, неотрицательным степеням переменных и .

Чтобы понять, какие задачи возникают в теории двойных степенных рядов, дадим обзор известных вам результатов из теории простых степенных рядов, т.е. степенных рядов одной переменной .

Степенным рядом называется ряд вида

. (19)

представляющий собой как бы «бесконечный многочлен», расположенный по возрастающим степеням переменной ( -постоянные коэффициенты). поставим вопрос, какой вид имеет область сходимости степенного ряда, т.е. множество . Верна следующая основная лемма:

Лемма. Если ряд (19) сходится для значения , отличного от нуля, то он абсолютно сходится для любого значения , удовлетворяющего неравенству .

При сходится, очевидно, всякий ряд (19). Но есть степенные ряды, которые, помимо этого, не сходятся ни при одном значении . Примером такого «всюду расходящегося» ряда может служить ряд

, (20)

в чем можно убедиться, применяя признак Даламбера. Действительно, пусть таково, что . Тогда и, следовательно, общий член ряда (20) не стремится к нулю.

Рассмотрим теперь для ряда (19) множество , где и ряд (19) сходится при . Это множество может оказаться ограниченным сверху, либо нет. В последнем случае найдется такое , что и при указанном значении переменной , по основной лемме, ряд (19) абсолютно сходится. Таким образом, ряд (19) в этом случае сходится для любого и говорят, что радиус сходимости степенного ряда в этом случае , а область сходимости . Если же множество ограничено и - его точная верхняя граница, о ряд (19) абсолютно сходится для всех , удовлетворяющих неравенству , т.к., по определению точной верхней границы всегда найдется такое, что . В этом случае число называют радиусом сходимости, а интервал - областью сходимости ряда (19). О концах интервала сходимости, т.е. точках общего утверждения сделать нельзя: там, смотря по случаю, может быть как сходимость, так и расходимость.

Теорема Коши-Адамара. Радиус сходимости ряда (19) . В частности, если существует , то

Точно так же, если существует , то .

Рассмотрим два примера:

1. Ряд имеет радиус сходимости

и интервал (область) сходимости .

Кроме того, при имеем ряд

,

т.е. знакопеременный ряд, который сходится по признаку Лейбница. Более того, легко найти его сумму. Известно, что для

,

и, следовательно,

При имеем

расходимость. В итоге, область сходимости нашего ряда есть полуинтервал .

2) Ряд

дает разложение по степеням функции . Его радиус сходимости , а интервал сходимости есть .

Свойства степенных рядов

Пусть степенной ряд (19) имеет радиус сходимости . Тогда

1. Для любого ряд (19) сходится равномерно на .

2. Сумма степенного ряда (19) для всех является непрерывной функцией.

3. Если два степенных ряда в окрестности точки имеют одну и ту же сумму, то эти ряды тождественны, т.е. .

4. Если степенной ряд (19) расходится на конце промежутка сходимости, то на его сходимость не может быть равномерной.

5. Если степенной ряд сходится при , то сходимость ряда будет равномерной на .

6. Если степенной ряд (19) сходится при , то его сумма сохраняет непрерывность и при этом значении ( теорема Абеля), т.е.

.

7. Степенной ряд (19) в промежутке , где всегда можно интегрировать почленно, т.е.

.

Здесь возможно равенство , если в точках ряд (19) сходится.

8. Степенной ряд внутри его области сходимости можно почленно дифференцировать: их области сходимости совпадают

.

9. Функция , представимая рядом (19) имеет в промежутке сходимости производные всех порядков. Сам ряд (19), по отношению к этой функции является ее рядом Тейлора, т.е.

Замечание. Отметим, что часто встречаются степенные ряды по возрастающим степеням разности , т.е. ряды вида

(21)

Заменой переменной ряд (21) сводится к уже рассмотренному ряду (19):

.

Функция , представимая степенным рядом (19) или (21), называется аналитической в интервале сходимости ряда.

Вся эта теория простых степенных рядов переносится на случай двойных степенных рядов.