Функція розподілу випадкової величини

Функцією розподілу випадкової величини Х будемо називати функцію, яка кожному значенню аргументу х ставить у відповідність імовірність того, що випадкова величина набуває значення меншого, ніж х.

. (ІІ.1)

Яких би значень не набувала випадкова величина, її функція розподілу визначається на всій дійсній осі. Функція розподілу випадкової величини є імовірністю і тому вона має такі властивості.

1. Значення функції розподілу змінюються в межах .

2. Функція розподілу монотонно неспадна, тобто . Дійсно .

3. Імовірність попадання значень випадкової величини в інтервал обчислюється за формулою

. (ІІ.2)

4. Оскільки подія є неможливою, а подія — достеменною, то , а .

5. Функція розподілу F є неперервною зліва в кожній точці своєї області визначення, тобто .

Приклад 2. Побудувати функцію розподілу випадкової величини, якою є кількість очок, що випадає при киданні грального кубика.

Розв’язання: Розподіл вказаної випадкової величини має вигляд

хі	1	2	3	4	5	6
рі	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Будуємо функцію розподілу цієї величини. Оскільки при киданні грального кубика не може випасти менше ніж одне очко, то для маємо . Для проміжку подія Х < х полягатиме у випаданні одного очка, тому для цього проміжку . Для проміжку подія Х < х полягатиме у випаданні одного очка або двох, тому для цього проміжку . Міркуючи аналогічно отримуємо а її графік:

Приклад 3. Розподіл випадкової величини задано співвідношенням , Визначити константу с, записати функцію розподілу та знайти ймовірність того, що випадкова величина набуває значень менших, ніж 15, але не менших, ніж 3.

Розв’язання: Врахувавши, що достовірна подія, маємо . Отже, . Для маємо , якщо , то . Отже, . Далі .

Приклад 4. Функція розподілу випадкової величини має вигляд . Визначити константи а і b, побудувати графік функції розподілу та знайти ймовірність того, що значення випадкової величини потраплять у проміжок .

Розв’язання: Врахувавши, що , , а , , отримуємо . Розв’язавши останню систему знаходимо , b=0,5 , тобто функція розподілу задається формулою .

Щоб побудувати графік функції розподілу, використаємо пакет Maple. Введемо команду

with(plots): plot(1/Pi*arctan(3*x)+0.5,x=-3..3);

і отримаємо графік функції розподілу (рис.3).

Оскільки для неперервно розподіленої випадкової величини імовірність, що її значення попадає в задану точку, дорівнює нулеві, то .

Щільність розподілу неперервно розподіленої випадкової величини

Якщо випадкова величина розподілена неперервно, то кількість значень, яких вона може набувати нескінченна, а імовірність, з якою вона набуває кожного конкретного значення, дорівнює нулю. На відміну від дискретно розподіленої випадкової величини така ймовірність не характеризує розподіл величини неперервної. Проте кожному значенню аргументу х можна поставити у відповідність число , яке описує кожну точку х границею відношення імовірності попадання значень випадкової величини Х в деякий окіл цієї точки до величини цього околу. Якщо врахувати, що

,

то щільністю розподілу f(x) неперервної випадкової величини Х будемо називати похідну її функції розподілу:

(ІІ.3)

Щільність розподілу неперервної випадкової величини має такі властивості:

1. Щільність розподілу завжди невід’ємна ( ).

Дійсно, оскільки функція розподілу монотонно неспадна, то її похідна в жодній точці не може бути від’ємною.

2. Функція розподілу неперервної випадкової величини визначається через щільність її розподілу за формулою

(ІІ.4)

Формулу (ІІ.4) отримуємо, проінтегрувавши рівність (ІІ.3) по проміжку .

3. Має місце умова нормування

(ІІ.5)

На підставі (ІІ.4)

4. Імовірність попадання значень неперервної випадкової величини в заданий інтервал обчислюється за формулою

. (ІІ.6)

Дійсно, .

Приклад 5. Функція розподілу випадкової величини . Знайти щільність розподілу та побудувати графіки функції розподілу та щільності розподілу.

Розв’язання: Продиференціювавши вираз для функції розподілу, знаходимо щільність розподілу заданої випадкової величини . Як бачимо, випадкова величина може набувати значень лише з проміжку . Графіки функції розподілу та щільності розподілу будуємо, використовуючи пакет Maple. Введемо команди

f:=x->piecewise(x<0,0,x>0 and x<Pi,sin(x)/2,x>Pi,0);

F:=x->piecewise(x<0,0,x>0 and x<Pi,(1-cos(x))/2,x>Pi,1);

with(plots):plot([f(x),F(x)],x=-4..4);

і отримаємо шукані графіки (рис.4).

Приклад 6. Щільність розподілу випадкової величини Х задана співвідношенням . Визначити сталу С та знайти імовірність попадання випадкової величини в проміжок [0; 4].

Розв’язання: Оскільки , то , , , С = 3. Отже, . Далі, .