Апроксимаційні формули Муавра-Лапласа Локальна теорема Муавра-Лапласа Якщо у схемі Бернулі величина , коли , то

,

де — щільність стандартного нормального розподілу.

Локальна теорема Муавра-Лапласа стверджує, що при достатньо великих п, імовірності для біномного розподілу мало відрізняються від значень щільності нормального розподілу з математичним сподіванням і дисперсією , тобто

. (ІІ.29)

Формула дає достатньо точне наближення для пр >10, nq >10.

Приклад 12. Імовірність народження хлопчика дорівнює 0,52. Знайти ймовірність, що серед 100 новонароджених виявиться 51 хлопчик.

Розв’язання: Застосовуючи формулу (ІІ.29) при п=100, р=0,52, q=0,48, , отримуємо .

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа

В припущеннях локальної теореми Муавра-Лапласа справджується рівність

, (ІІ.30)

де — імовірність набуття випадковою величиною значень від k₁ до k₂, — функція Лапласа.

Приклад 13. В умовах попереднього прикладу знайти ймовірність, що серед 100 новонароджених виявиться від 40 до 60 хлопчиків.

Розв’язання: Застосовуючи формулу (ІІ.29) при п=100, р=0,52, q=0,48, , отримуємо

.

Деякі закони розподілу статистик

Наведемо деякі важливі закони розподілу випадкових величин, які використовуватимуться нами при розв’язуванні задач математичної статистики.

Р озподіл χ²

Н

Рис. 8

ехай — незалежні випадкові величини, що мають стандартний нормальний розподіл. Тоді величина має розподіл χ² з п степенями вільності, який задається щільністю При прямуванні кількості степенів свободи до нескінченості розподіл наближається до нормального (рис.8).

Розподіл Стьюдента

Я кщо Z — випадкова величина із стандартним нормальним розподілом, а V — незалежна від Z величина, що має розподіл з k степенями вільності, то величина

n=10

n=3

n=1

має розподіл Стьюдента з k степенями вільності.

З

Рис. 9

ростом k розподіл Стьюдента швидко наближається до нормального (рис.9).

Р озподіл Фішера-Снедекора

Я

k₁=2, k₂=3

k₁=3, k₂=5

k₁=5, k₂=7

кщо U i V — незалежні випадкові величини, що мають розподіл з k₁ і k₂ степенями вільності відповідно, то величина

м

Рис. 10

ає розподіл Фішера-Снедекора з k₁, k₂ степенями вільності (рис. 10).

Двовимірна випадкова величина

Якщо на одному імовірнісному просторі задано дві випадкові величини (або п випадкових величин), то їх упорядковану пару (Х₁, Х₂) (впорядковану сукупність (Х₁, Х₂,..., Х_п)) називають двовимірною (п – вимірною) випадковою величиною або двовимірним (п – вимірним) випадковим вектором. Надалі в основному розглядатимемо саме двовимірний випадковий вектор.

Якщо випадкові величини Х₁, Х₂ — неперервні, то вектор (Х₁, Х₂) називають неперервним випадковим вектором. Коли ж Х₁, Х₂ — дискретні випадкові величини, то й вектор (Х₁, Х₂) називають дискретним.

Функція розподілу двовимірної випадкової величини

Розподіл двовимірного дискретного випадкового вектора можна задати у вигляді таблиці:

X Y	x1	x2	…	хі	…	хn
у1	p11	p21	…	pi1	…	pn1
…	…	…	…	…	…	…
уj	p1j	p2j	…	pij	…	pnj
…	…	…	…	…	…	…
уm	p1m	p2m	…	pim	…	pnm

Тут значення відповідно випадкових величин Х і Y, а . Зрозуміло, що .

Функція називається функцією розподілу ймовірностей двовимірної випадкової величини. Наприклад, якщо випадковий вектор заданий розподілом

X Y	1	3	7
2	0,03	0,5	0,2
4	0,15	0,1	0,02

то функція розподілу випадкового вектора матиме вигляд

Функція розподілу ймовірностей двовимірного випадкового вектора має такі властивості.

1. Значення функції розподілу змінюються в межах .

2. Функція розподілу монотонно неспадна за кожним аргументом, тобто:

,

.

3. Імовірність попадання значень випадкової величини в прямокутник обчислюється за формулою

.

4. Справджуються рівності:

.

5. Границею функції розподілу ймовірностей, коли одна із змінних прямує до , є функція розподілу другої змінної:

6. За кожним своїм аргументом функція розподілу F є неперервною зліва в будь-якій точці своєї області визначення, тобто

Якщо випадковий вектор є неперервним, то функція неперервна на всій області визначення.

Функцію

,

(якщо вона існує) називають щільністю розподілу ймовірностей двовимірної випадкової величини.

Наприклад, функція є щільністю розподілу неперервної двовимірної випадкової величини, заданої функцією розподілу

Щільність розподілу неперервної випадкової величини має такі властивості:

1. Щільність розподілу завжди невід’ємна .

2. Функція розподілу неперервної випадкової величини визна­ча­єть­ся через щільність її розподілу за формулою

3. Має місце умова нормування .

4. Імовірність попадання значень неперервної випадкової величини в задану область D обчислюється за формулою

.

5. Функції

і

задають щільності розподілів одновимірних неперервних випадкових величин X і Y відповідно.