3.Сложное напряжённое состояние.
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ.
3.1Виды напряженного состояния.
Взаимодействие между частями элемента конструкции можно охарактеризовать величинами нормальных и касательных напряжений в каждой точке элемента. Эти величины зависят от направления сечения, проведенного через данную точку
Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, называется напряженным состоянием в этой точке.
Если через рассматриваемую точку тела нельзя провести ни одной площадки, в которой касательные и нормальные напряжения были бы равны нулю, то в этой точке имеется пространственное (трехосное) напряженное состояние. Если в одной (и только в одной) площадке, проходящей через рассматриваемую точку тела, касательные и нормальные напряжения равны нулю, то в этой точке имеется плоское (двухосное) напряженное состояние. Если касательные и нормальные напряжения равны нулю в двух площадках, проходящих через рассматриваемую точку тела, то в этой точке имеется линейное (одноосное) напряженное состояние; в таком случае касательные и нормальные напряжения равны нулю и во всех площадках, проходящих через линию пересечения указанных двух площадок.
Плоское и линейное напряженные состояния являются частными случаями пространственного напряженного состояния.
Величины напряжений в разных площадках, проходящих через данную точку тела, находятся между собой в определенных зависимостях. Эти зависимости _ устанавливаются в настоящей главе. Они используются при решении многих задач сопротивления материалов — в первую очередь при расчетах на прочность в случаях сложного сопротивления.
3.2Напряжения по наклонным сечениям при осевом растяжении или сжатии (линейное напряжённое состояние).
В предыдущих параграфах, проверяя прочность растянутого или сжатого стержней, мы определяли напряжения только по сечению, перпендикулярному к его оси. Но правильно оценить опасность, угрожающую прочности стержня, можно, лишь зная полностью его напряженное состояние, а это требует уменья вычислять напряжения не только по сечению, перпендикулярному к оси, а по любому.
Вычислим напряжения, действующие по какому-либо наклонному сечению. Возьмём призматический стержень, растянутый силами Р (рис. 3.1). Разделим его на две части: I и II сечением тп, составляющим угол α с поперечным сечением тk, перпендикулярным к оси. 'Тот же угол составляют между собой и нормали к этим сечениям.
За положительное направление отсчётов этого угла возьмём направление против часовой стрелки. Нормаль ОА, направленную наружу по отношению к отсечённой части стержня, будем называть внешней нормалью к сечению тп. Площадь сечения тk обозначим F0 , площадь же сечения тп обозначим Fα.
Для нахождения напряженяй, передающихся через намеченное сечение от верхней (I) части на нижнюю (II), отбросим мысленно верхнюю часть и заменим действие её на нижнюю напряжениями рα. Для равновесия нижней части напряжения рα должны уравновешивать силу Р и быть направлены параллельно оси стержня. В данном случае напряжения уже не перпендикулярны к той площадке, по которой они действуют. Величина их тоже будет иной, чем для площадки тk.
Рис.3.1
Делая предположение, как и ранее для поперечного сечения, что напряжения рα равномерно распределены по площади проведённого разреза, найдём:
pα=P/Fα.
Но так как Fα=F/cosα, то pα=Pcosα/F0=σ0cosα,
где σ0=PF0 - нормальное напряжение по площадке тk, перпендикулярной к растягивающей силе.
При изменении угла α меняется и величина полных напряжений рα, действующих по проведённой площадке, и угол наклона их (90°- α) к этой площадке.
Для того чтобы при любом угле наклона α иметь дело всегда с одними и теми же видами напряжений, разложим напряжения рα на две составляющие: в плоскости тп и перпендикулярно к ней (рис.3.2). Таким образом, напряжение рα, действующее в точке А площадки тп, мы заменяем двумя взаимно перпендикулярными напряжениями: нормальным напряжением σα и касательным напряжением τα . Величины этих двух напряжений будут меняться в зависимости от изменения угла α между нормалью к площадке и направлением растягивающей силы. Из рис. 3.2 имеем:
σα=рαcosα=σ0cos2α, (3.1)
τа=рαsinα=σ0sinαcosα=1/2σ0sin2α (3.2)
Рис3.2
Установим следующие условия относительно знаков напряжений σα и τα. Растягивающие напряжения σα, т. е. совпадающие с направлением внешней нормали, будем считать положительными; нормальные напряжения обратного направления — сжимающие — будем принимать со знаком минус.
Касательные напряжения будем считать положительными, если их направление таково, что внешняя нормаль для совмещения с ними должна повернуться по часовой стрелке. Обратное направление τα будем считать отрицательиым. Можно руководствоваться и таким правилом знаков: если касательное напряжение τ даёт момент по часовой стрелке относительно центра рассматриваемого элемента, то оно считается положительным; против часовой стрелки — отрицательным.
На рис. 3 показаны принятые условия относительно знаков α, σ и 𝜏. При любом угле наклона площадки α мы всегда будем иметь дело лишь с двумя видами напряжений, действующих в каждой точке проведённого разреза: с нормальным и касательным напряжениями. Эти два вида напряжений соответствуют двум видам деформаций, которые испытывает материал стержня.
Рис3.3
Выделим (рис.3.4) из растянутого стержня двумя наклонными параллельными сечениями 1-1 и 2-2 тонкий слой материала: этот слой на рис.3.4 заштрихован. На обе плоскости, ограничивающие этот слой, будут действовать и нормальные и касательные напряжения σα и τα. Как видно из чертежа, нормальные напряжения соответствуют растяжению выделенного слоя; напряжения же τα соответствуют стремлению сечений 1-1 и 2-2 сдвинуться параллельно одно другому.
Рис3.4
Значит, наличие этих двух видов напряжений соответствует наличию двух видов деформаций: продольной деформации (удлинение или укорочение) и деформации сдвига.
Этому соответствуют и два вида разрушения материала: путём отрыва и путём сдвига.
Для того чтобы убедиться в достаточном сопротивлении материала стержня разрушению, необходимо установить наибольшие значения величин σα и τα, в зависимости от положения площадки тп.
Из формул (3.1) и (3.2) следует, что σα достигает своего наибольшего значения, когда cos2α будет равен единице и угол α = 0. Максимум же τα получится при sin2α=1, т. е. при 2α = 90° и α = 45°. Величины этих наибольших напряжений будут равны:
maxσα=σ0=PF0; maxτα=σ02. 3.3
Таким образом: наибольшие нормальные напряжения действуют в данном случае по площадкам, перпендикулярным к оси стержня; наибольшие касательные напряжения действуют по площадкам, составляющим угол 45° с направлением оси стержня, и равны половине наибольших нормальных напряжений.