6.8 Напряжения и деформации в винтовых пружинах с малым шагом.

В рессорах вагонов, в клапанах и в других деталях механизмов применяются винтовые пружины, подвергающиеся действию сил, сжимающих или растягивающих пружину. При проектировании таких пружин необходимо уметь вычислять наибольшее напряжение (для проверки прочности) и определять деформацию пружины- её удлинение или осадку. Последнее необходимо, так как на практике регулируют нагрузки, приходящиеся на пружину, давая ей большие или меньшие деформации сжатия или растяжения.

Рис.5.16

Таким образом, необходимо по размерам пружины уметь вычислить зависимость между её деформацией и силой. Оказывается, что материал пружины испытывает напряжения кручения, как это будет показано ниже.

Представим себе (Рис.5.16, а) цилиндрическую пружину, растянутую силами Р, приложенными по её оси. Назовём R- радиус винтовой оси (витка) пружины, n-число витков, r- радиус поперечного сечения стержня пружины, G- модуль сдвига. Наклоном витков пренебрегаем.

Для вычисления напряжений разрежем эту пружину на две части сечением, проходящим через ось цилиндра, образованного пружиной. Верхнюю часть отбросим и рассмотрим равновесие нижней части (Рис.5.16, б).

На эту часть действуют внешняя сила Р и напряжения по сечению стержня пружины. Чтобы выяснить, какие это напряжения, приложим в точке 0, центре поперечного сечения пружины, две силы P1 и P2, равные по величине Р и направленные по вертикали в разные стороны (Рис.5.17).

Так как и сила P2, и пара сил P=P1с моментом Mк=PR лежат в плоскости проведённого разреза, то они должны уравновеситься касательными напряжениями.

Рис.5.17

Сила P2 сдвигает отсеченную часть пружины вниз и вызывает появление касательных напряжений, показанных на фиг.137, а и равных:

τ1=P2F=Pπr2

Момент пары Mк вызывает скручивание стержня пружины и является причиной возникновения второй группы касательных напряжений (5.6):

τ2=MкJpρ.

Рис.5.18

Эти напряжения будут меняться по своей величине пропорционально расстоянию от центра (Рис.5.18, б) и достигают наибольшего значения по площадкам, расположенным у контура сечения; их величина равна:

maxτ2=MкWp=RPπr32

Накладывая обе группы напряжений друг на друга, получаем полное распределение напряжений по сечению.

Опасной точкой будет та из точек контура, в которой направления τ1 и maxτ2 совпадут. Такой точкой будет А — у внутреннего края сечения; в ней полное касательное напряжение равно (Рис.5.18):

τmax=Pπr2+2PRπr3=Pπr2(1+2Rr) (5.19)

Так как в большинстве случаев второе слагаемое в скобках значительно больше единицы, то обычно пренебрегают первым слагаемым — напряжением от простого перерезывания — и учитывают лишь кручение стержня парами РR. Тогда

τmax=2PRπr3 (5.20)

При таком упрощении очень легко вычислить деформацию растяжения пружины, которую мы обозначим λ.

Рис.5.19

Вырежем из пружины отрезок длиной ds двумя смежными сечениями — CO1 и CO2, проходящими через ось пружины (Рис.5.19). Так как эти сечения мы выбираем весьма близко, то можно принять, что до деформации радиусы-R, идущие от оси пружины к центрам проведенных сечений, лежат в одной плоскости и образуют треугольник O1CO2 .

После деформации второе сечение, вследствие скручивания участка стержня ds, повернется относительно первого на угол dθ=MкdsGJp_.. Тогда радиус O2C повернётся относительно радиуса O1C тоже на угол dθ и точка С переместится в положенне C1, что влечёт опускание конца пружины на величину

dλ=Rdθ=RMкdsGJp

Если мы учтем, что все элементы ds стержня пружины деформируются таким же образом, то полное опускание нижнего конца пружины, т. е. её удлинение, выразится суммой величин dλ:

λ=∑dλ=01RMкdsGJp (5.21)

Здесь l=01ds —полная длина стержня пружины, а MкJGlp – взаимный угол закручивания концов стержня пружины, определённый в предположении что стержень распрямлён.

Пренебрегая наклоном витков к горизонтали и принимая число их п, получаем, что полная длина винтового стержня равна:

l=2πRn

Тогда

λ=MкRGJp2πRn=4PR3nGr4 (5.22)

Формулы (11.25) и (11.28) дают возможность проверить прочность и определить деформацию пружины.

Чем выше допускаемое напряжение на срез τ, тем более гибкой будет пружина, тем большую осадку она даст при том же грузе Р, так как её можно сделать из стержня меньшего поперечного сечения.