2.5. Электрическая индукция

Напомним, что связанными называют заряды, входящие в состав ней­тральных молекул. Все остальные заряды следует называть свободны­ми. Рассмотрим несколько примеров. Пусть от одной из нейтральных молекул отделились один или несколько электронов и молекула превра­тилась в положительно заряженный ион. В этом случае избыточный положительный заряд иона следует назвать свободным. В металле мно­го "свободных" электронов. Так называют электроны, оторвавшиеся от атомов металла и почти беспрепятственно движущиеся в пространстве между положительными ионами. Эти электроны называют свободны­ми еще и потому, что они не входят в состав нейтральных атомов или молекул. Положительные ионы в металле также являются носителями свободных зарядов. То же самое можно сказать об отрицательных ио­нах: избыточный электронный заряд иона является свободным. Какой смысл имеет разделение зарядов на свободные и связанные? Поляри­зация диэлектрика обусловлена действием на его молекулы внешнего электрического поля. Но поляризованный диэлектрик сам создает элек­трическое поле, которое так же, как и внешнее поле, действует на его молекулы. Внешнее поле создается свободными зарядами, а собственное поле диэлектрика - связанными.

Объемную плотность свободных зарядов будем обозначать *. В ре­зультате разделения зарядов на свободные и связанные объемную плот­ность заряда  следует считать равной сумме плотностей этих зарядов:

=*+’

При этом теорему Гаусса (1.62) можно записать так:

= +

При помощи теоремы (2.16) преобразуем это равенство к виду

= + (2.19)

Вектор

D = ₀ E + P (2.20)

называют электрической индукцией, или электрическим смещением. Используя это определение, равенство (2.19) можно записать так:

= (2.21)

Полученное равенство называют теоремой Гаусса для вектора электри­ческой индукции. Согласно этому равенству поток вектора электриче­ской индукции через произвольную замкнутую поверхность S в напра­влении внешней нормали равен свободному заряду, заключенному вну­три этой поверхности. Если свободные заряды принадлежат небольшому числу материальных точек, то вместо интеграла в правой части равен­ства (2.21) следует писать алгебраическую сумму свободных зарядов, заключенных внутри поверхности S:

=

В силу теоремы Остроградского - Гаусса поток вектора электрической индукции через поверхность S равен интегралу от дивергенции вектора

D по объему V, ограниченному этой поверхностью. Поэтому равенство (2.21) можно записать так:

=

Из этого равенства нетрудно получить дифференциальное уравнение для вектора электрической индукции

div D = *

Во многих задачах электростатики распределение свободных зарядов считается известным. При этом в уравнениях (2.21) - (2.23) неизвест­ной является векторная функция D = D(r). Уравнения (2.21) - (2.23) есть скалярные уравнения. Поэтому в общем случае с их помощью невоз­можно найти векторное поле D = D(r). так как вектор характеризуется тремя величинами, например, тремя проекциями на оси координат. Од­нако в тех случаях, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и можно заранее определить семейство силовых линий элек­трического поля, т.е. направление вектора D, его модуль может быть найден при помощи одного из этих уравнений.

2.6. Диэлектрическая восприимчивость и проницаемость

Напряженность Е определяет силы, деформирующие молекулы в электрическом поле. Чем больше напряженность электрического по­ля, тем сильнее поляризуется диэлектрик и тем больше его поляризо-

ванность Р. Для многих (но далеко не для всех) диэлектриков вектор поляризованности коллинеарен вектору напряженности электрического поля в диэлектрике:

Р(r)= ₀_e(r)E(r), (2.24)

где скалярная величина _e называется диэлектрической восприимчиво­стью вещества. Диэлектрик называют однородным, если диэлектриче­ская восприимчивость во всех его точках одинакова.

Подставив выражение (2.24) в соотношение (2.20), получим равенство

D= E, (2.25)

где величина

 = (1+_e) ₀ (2.26)

называется диэлектрической проницаемостью вещества. Величина

_r =  / ₀= (1+_e) (2.27)

называется относительной диэлектрической проницаемостью.

Величины _r ,,_e являются характеристиками вещества, а уравнения (2.24) и (2.25) описывают влияние электрического поля на поляризацию диэлектрика. Эти уравнения иногда называют материальными.