3.2. Электрическая емкость заряженного проводника

Рассмотрим изолированный проводник, которому сообщен заряд Q. В общем случае проводник может быть окружен неоднородным диэлектри­ком. Заряд Q проводника, распределенный некоторым образом по его поверхности, и связанные заряды поляризованного диэлектрика созда­ют в пространстве электрическое поле, которое можно описать посред­ством зависимости  = (r). потенциала от радиус-вектора. Эта функ­ция связана с точечными зарядами Q_i, создающими электрическое поле, соотношением

(r) = , (3.3)

где r - радиус-вектор заряда Q_i. В этой формуле Q_i обозначает систему зарядов, которая включает в себя и свободные заряды на поверхности проводника, и связанные заряды поляризованного диэлектрика. Заряды Q_i распределены по поверхности проводника и по объему диэлектрика таким образом, что функция (3.3) принимает постоянное значение ₀ в любой точке проводника и на его поверхности, в частности. Увеличим заряд на проводнике в п раз:

Q’=nQ.

Потенциал на поверхности заземленных, т.е. соединенных проводами с землей, проводников равен нулю.

Это приведет к усилению поля, т.е. к увеличению его потенциала и на­пряженности. Что в свою очередь приведет к большей поляризации ди­электрика и увеличению плотностей связанных зарядов. Для того чтобы напряженность поля внутри проводника была, как и прежде, равна нулю, новое распределение зарядов должно быть подобно первоначальному:

Q_i’ = nQ_i.

Подставив в формулу (3.3) заряды Q_i вместо Q_i, найдем новое распре­деление  = (r) потенциала в пространстве. Нетрудно заметить, что увеличение в п раз заряда на проводнике приводит к увеличению во столько же раз значения потенциала в каждой точке пространства:

(r)’ = n(r)

В частности, потенциал на поверхности проводника тоже увеличится в п раз:

‘_S = n_S

Следовательно, заряд Q проводника прямо пропорционален значению _S

(3.4)

Коэффициент пропорциональности С в этой формуле называется элек­троемкостью, или просто емкостью изолированного проводника. Ем­кость проводника определяется его размерами и формой, а также ди­электрическими свойствами вещества, которое окружает этот проводник. Единицей электрической емкости в СИ является фарада (Ф): [С] = Ф = Кл/В.

Из формулы (3.3) следует, что потенциал любой системы зарядов, ко­торая имеет конечные размеры, обращается в ноль на бесконечности:

(3.5)

lim (r) = 0 .

r->

Это условие следует иметь в виду при вычислении емкости изолирован­ного проводника.

3.4. Конденсаторы

Конденсатором называют систему из двух проводников, расположен­ных на небольшом расстоянии друг от друга и обладающих равными по величине, но противоположными по знаку зарядами. Проводники, соста­вляющие конденсатор, называются его обкладками. Пространство между обкладками конденсатора обычно заполняется диэлектриком. На схемах конденсатор условно изображают в виде двух параллельных пластин с подсоединенными к ним проводами, по которым на обкладки конденса­тора натекают или стекают электрические заряды (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Условное изображение конденсатора

Поверхность каждой из обкладок является эквипотенциальной. Пусть ₁ есть значение потенциала на той обкладке, которая имеет заряд +Q, а ₂ - значение потенциала на другой обкладке. Напряжением U на конденсаторе называют разность потенциалов между его обкладками:

(3.12)

U = ₁ - ₂

Заряд Q конденсатора прямо пропорционален напряжению на его обкладках:

Q=CU.

Коэффициент пропорциональности С называется емкостью конденсато­ра. Он определяется геометрией конденсатора и свойствами диэлектрика между его обкладками.

Рассмотрим конденсатор, заполненный однородным диэлектриком с проницаемостью ₁. Поместим на его обкладки заряды +Q и -Q. Если напряжение на конденсаторе окажется равным U₁, то его емкость будет

C₁=Q/U₁ (3.14)

Не меняя заряда на обкладках конденсатора, заполним пространство между ними другим однородным диэлектриком с проницаемостью ₂. Напряжение на конденсаторе изменится и примет значение U₂ , а его ем­кость станет

C₂=Q/U₂ . (3.15)

Так как оба диэлектрика однородные, силовые линии в обоих слу­чаях будут одинаковыми. При известных направлениях вектора D его модуль можно найти по теореме Гаусса (2.22), в правою часть которой входят только свободные заряды. После замены одного диэлектрика другим распределение свободных зарядов на обкладках конденсатора не изменится. Поэтому векторное поле D = D(r) электрической индук­ции останется тем же самым. С учетом соотношения (2.25) получаем равенства

D = ₁E₁ = ₂E₂

В силу соотношения (1.18) будем иметь аналогичное равенство для по­тенциалов

₁₁ = ₂₂

из которого следует, что

₁U₁ = ₂U₂

(3.16)

Разделим равенство (3.14) на (3.15). Используя формулу (3.16), прихо­дим к выводу, что отношение емкостей равно отношению проницаемостей диэлектриков, заполняющих пространство между обкладками конденса­тора:

C₁/C₂ =₁/ ₂ (3-17)

Емкость конденсатора может быть измерена различными радиотехни­ческими методами. При этом соотношение (3.17) удобно использовать для определения проницаемостей диэлектриков. Так, если С_о и С есть емкости пустого конденсатора и того же конденсатора, заполненного ди­электриком, то проницаемость  этого диэлектрика можно вычислить по формуле

 = (С/ С_о) ₀

При этом относительная проницаемость _r будет равна отношению емкостей:

_r =(С/ С_о)