6. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Занятие № 53. Двойные интегралы.
53.1.
Для множества G,
ограниченного линиями, или заданного
неравенствами, записать двойной интеграл
в виде повторных интегралов с разными
порядками интегрирования:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
53.2. Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
53.3. Вычислить двойные интегралы:
54.2. Произведя соответствующую замену, вычислить следующие интегралы:
Занятие № 55. Приложения двойного интеграла.
55.1. Найти площадь области, ограниченной кривыми:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) ;
е)
.
55.2. Найти объемы тел, ограниченных поверхностями:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
55.3.
Найти площадь части сферы
,
заключенной внутри конуса
.
55.4.
Найти площадь поверхности
.
55.5.
Найти площадь части цилиндра
,
отсеченного плоскостями
.
Занятие № 56.
Криволинейный интеграл.
56.1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по плоской кривой Г:
56.2. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой Г, пробегаемой в направлении возрастания ее параметра x:
7. Ряды.
Занятие № 57.
Числовые ряды.
57.1. Найти сумму ряда:
57.2. Доказать расходимость ряда, используя необходимое условие сходимости:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
57.3. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость ряда:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
57.4. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость ряда:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Занятие № 58.
Ряды с положительными членами.
58.1.
Используя признак сравнения, исследовать
на сходимость ряд
:
58.2. Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Даламбера:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
58.3. Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Коши:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
58.4. Исследовать на сходимость ряд с помощью интегрального признака Коши:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
Занятие № 59.
Знакопеременные ряды.
59.1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму:
а)
;
б)
;
в)
59.1. Исследовать на абсолютную или условную сходимость знакопеременные ряды:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
.
59.3. Применяя признаки Абеля или Дирихле, исследовать ряды на абсолютную или условную сходимость:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Занятие № 60.
Функциональные последовательности и ряды.
60.1.
Найти предельную функцию для
последовательности
и построить ее график:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
60.2. Исследовать равномерную сходимость последовательности на заданном множестве Е:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
60.3. Найти область сходимости и область абсолютной сходимости функциональных рядов:
60.4. Доказать равномерную сходимость функционального ряда в указанном промежутке:
60.5. Найти область сходимости степенного ряда:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
60.6.
Разложить функцию
в
степенной ряд с центром в точке
и найти радиус сходимости R
полученного ряда:
а)
; б)
;
в)
;
г )
;
д)
; е)
;
ж)
; з)
;
и
)
;
к)
.