Занятие № 14. Преобразование координат на плоскости. Приведение уравнений к каноническому виду.
14.1. Определить тип кривой второго порядка, составить ее каноническое уравнение:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
14.2. Определить тип кривой приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
14.3. Определить тип кривой методом инвариантов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
14.4. Составить уравнение линии, сумма расстояний точек которой до точек А (2,4) и
В (-4,4) равна 8.
14.5.
Составить уравнение линии, каждая точка
которой вдвое дальше от прямой
,
чем от точки Р
.
Занятие № 15. Плоскость в пространстве.
15.1.
Составить уравнение плоскости, которая
проходит через начало координат и имеет
нормальный вектор
15.2. Найти угол между плоскостями 3x – y + 2z + 15 = 0 , 5x + 9y – 3z – 1 = 0
15.3.
Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку
перпендикулярно вектору
:
A(1,
0, -2), B(2,
-1, 3 ), C(0,
-3, 2)
15.4. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(5, 4, 1), В(4, -2, -1), С(0, 6, 5).
15.5.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку Р
параллельно двум векторам
,
.
15.6. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к плоскостям x +2y – 2z = 1, x – 2y + z = 4.
15.7. Найти расстояние от точки М(1,3,1) до плоскости 2x – y – 2z – 3 = 0.
15.8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Р(3,-1,-2) и отсекающей на осях координат равные отрезки.
15.9. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M(1,0,2) и отсекающей на осях Ox и Oy отрезки a=2 и b=3.
15.10. Найти косинусы углов нормали плоскости 2x + y + 2z – 4 = 0 с осями координат.
15.11. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и через точку А(2;1;-1). 15.12. Вычислить расстояние от точки (-1, 1, -2) до плоскости, проходящей через три точки А(1, -1, 1), В(-2, 1, 3), С(4, -5, -2).
15.13.
Составить уравнения плоскостей,
параллельных плоскости
и отстоящих от нее на расстояние d
= 5.
15.14.
Тетраэдр задан координатами своих
вершин:
Составить уравнения плоскостей,
проходящих через: а) вершину D,
параллельно грани ABC;
б) вершину В, параллельно грани ADC;
в) ребро АС, параллельно ребру BD;
г) ребро ВС, параллельно ребру AD.
15.15. Даны координаты четырех вершин параллелепипеда :
Составить
уравнения плоскостей, проходящих через:
а)
ребро
,
параллельно диагонали
;
б)
диагональ
грани,
параллельно диагонали
;
в)
диагональ
грани,
параллельно прямой
.
Занятие № 16. Прямая в пространстве.
16.1. Написать канонические уравнения прямой:
1) проходящей через две точки A(1,-1,3), B(2,1,-1),
2)
проходящей через точку A(3,1,2) и параллельной
вектору
.
16.2. Найти косинус угла между прямыми:
и
.
16.3.
Найти расстояние точки M(2,-1,3) до прямой
.
16.4. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку Р(2, -5, 3)
и
параллельной прямой
.
16.5
Написать уравнения прямой
в канонической и параметрической
формах.
16.6. Даны вершины треугольника A(3,-1,-1), B(1,2,-7) и С(-5,14,-3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине B.
16.7.
Составить уравнения прямой, которая
проходит через точку А(-1,-3,2) и пересекает
две прямые
;
.
16.8.
Исследовать взаимное расположение
прямых
и
.
Если прямые пересекаются, то определить
координаты их точки пересечения:
а)
,
;
б)
,
;
в)
,
;
г)
,
.
16.9. Доказать, что прямые и пересекаются, и составить уравнение плоскости, которая их содержит:
а)
,
;
б)
,
.
16.10. Доказать, что прямые и скрещиваются. Составить уравнения плоскостей, каждая из которых содержит одну из этих прямых и параллельна второй:
а)
,
;
б)
,
.
16.11.
Определить уравнение прямой, проходящей
через точку М, пересекающей прямую
и перпендикулярной к ней:)
а)
б)
16.12. Даны координаты вершин треугольника АВС. Составить уравнения его высот:
а)
б)
,
