4.2.3. Еквівалентність множників утримання та дисконтування для простих процентів

Для визначення теперішньої вартості за правилом про­стих процентів можна скористатися методикою дисконтування або методикою утримання коштів. У разі необхідності еквівалентної (рівноцін­ної) заміни методик простих процентів, потрібно прирівняти відповідні множники утримання та дисконтування. Тоді, згідно введених раніше позначень, рівняння еквівалентності матиме ви­гляд:

(4.7)

З рівняння (4.7) слідує, що для простих процентів еквівалент­ність множників дисконтування та утримання досягається за та­ких співвідношень відповідних ставок дохідності:

(4.8)

або

(4.9)

З виразів (4.8) і (4.9) випливає, що за правилом простих про­центів для дотримання умови рівності множників дисконтування та утримання, а отже й умови еквівалентності величин теперіш­ньої вартості, облікова ставка d має бути більшою за ставку дис­контування r.

Слід зауважити, що відношення еквівалентності між простими ставками суттєво залежать від строку операції. Якщо термін позички вимірюється в днях, то знайдемо наступні відношення еквівалентності:

а)

б) якщо при нарахуванні відсотків прийнято базу К=365, а для облікової ставки К=360, то

4.2.4. Еквівалентність множників утримання та дисконтування для складних процентів

У разі необхідності еквівалентної (рівноцінної) заміни методик складних процентів, потрібно прирівняти відповідні множники утримання та дисконтування. В даному разі, рівняння еквівалентності множників утримання та дис­контування складних процентів матиме вигляд:

(4.10)

З рівняння (4.10) слідує, що для складних процентів еквівален­тність множників дисконтування та утримання досягається за та­ких співвідношень відповідних ставок дохідності:

(4.11)

або

(4.12)

Із співвідношень (4.11) і (4.12) можна побачити, що взаємо­зв'язок складних ставок r та d не залежить від кількості пері­одів п.

Також з виразів (4.11) і (4.12) випливає, що за правилом склад­них процентів для дотримання умови рівності множників диско­нтування та утримання, а отже, й умови еквівалентності величин теперішньої вартості, облікова ставка d має бути більшою за ста­вку дисконтування r.

4.2.5. Еквівалентність множників нарощування складних процентів за номінальними та ефективними ставками дохідності

З погляду практики фінансових обчислень цікавою є задача визначення еквівалентних множників нарощування (чи дисконтування) за різної періодичності та тривалості нарахувань складних процентів.

Нарощення вартості за правилом складних процентів може відбуватися двома способами:

• за канонічною формулою, коли загальна кіль­кість нарахувань процентів співпадає з кількістю періодів існування угоди (тривалістю угоди), тобто, т = п;

• за формулою, коли загальна кількість нараху­вань процентів є більшою за кількість періодів, тобто, т> п.

З метою обчислення в межах однієї фінансової угоди номі­нальних і ефективних ставок дохідності, необхідно застосовувати вираз з попередньої теми :

У разі, коли для двох фінансових угод множники нарощуван­ня за річними ефективними ставками складних процентів є екві­валентними, можна записати рівняння (4.13):

(4.13)

Тоді, враховуючи вираз (r_e), для номінальних ставок дохід­ності можна записати рівняння:

(4.14)

Отриманий вираз (4.14) є загальним випадком рівняння еквіва­лентності множників нарощування складних процентів.

У разі, коли визначення еквівалентних множників здійснюють в межах однієї фінансової угоди, тобто n₁=n₂ =n вираз (4.14) спрощується до (4.15):

(4.15)

Зазначимо, що саме рівняння еквівалентності (4.15) досить час­то розглядається на практиці при вирішенні інвестиційної дилеми „час-дохідність”.

Розглянувши основні, найбільш розповсюджені рівняння еквівалентності, зазначимо, що насправді для будь-якої комбінації множників, нарощування, утримання, дисконтування простих або складних процентів можна записати відповідне рівняння еквіва­лентності. Окремим питанням є визначення залежності між непе­рервними ставками (силами росту) та вище переліченими дискрет­ними ставками дохідності.